Ημικύκλιο 7.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 600.png (8.21 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές

Το ημικύκλιο του παραπάνω σχήματος έχει κέντρο το σημείο

και το
τετράπλευρο $O\Gamma \Delta E$ είναι τετράγωνο. Αν η $\Gamma E$ τέμνει
το ημικύκλιο στο

, να υπολογίσετε τη γωνία $\theta$ και το εμβαδόν
του τριγώνου $\Delta EZ$ συναρτήσει της ακτίνας

του ημικυκλίου.

#2

: Ημικύκλιο 7 Φάνης.png (26.15 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

Ας είναι $AC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = y$ . Επειδή η

μεσοκάθετος στο

και $\widehat {EOD} = 45^\circ$

το $\vartriangle ZOD$ είναι ισόπλευρο και άρα $\widehat {BOZ} = 75^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = \frac{{180^\circ - 75^\circ }}{2} = 52,5^\circ }$ .

Αφού $\left\{ \begin{gathered} x + y = R \hfill \\ {y^2} = x(2R - x) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{y = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}}$ . Αλλά $2(DEZ) + \dfrac{1}{2}(OEDC) = (ZOD)$ άρα

$\boxed{(DEZ) = \frac{{{R^2}(\sqrt 3 - 1)}}{8}}$ .

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:600.png

Το ημικύκλιο του παραπάνω σχήματος έχει κέντρο το σημείο και το
τετράπλευρο $O\Gamma \Delta E$ είναι τετράγωνο. Αν η $\Gamma E$ τέμνει
το ημικύκλιο στο , να υπολογίσετε τη γωνία $\theta$ και το εμβαδόν
του τριγώνου $\Delta EZ$ συναρτήσει της ακτίνας του ημικυκλίου.

Καλημέρα!

: Ημικύκλιο 7.png (17.51 KiB) Προβλήθηκε 432 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

και

Προφανώς η πλευρά του τετραγώνου είναι $\dfrac{R\sqrt 2}{2}.$

$\displaystyle{CP = PZ \Leftrightarrow \frac{{R\sqrt 2 }}{2} + x = \sqrt {AP \cdot PB} = {R^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{R}{4}\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right) = R\cos {75^0}}$

οπότε $B\widehat OZ=75^0$ κι επειδή το τρίγωνο BOZ

είναι ισοσκελές, θα είναι $\boxed{\theta=52,5^0}$

$\displaystyle{\frac{{CO}}{x} = \frac{{CE}}{{EZ}} \Leftrightarrow \frac{{R\sqrt 2 }}{{2x}} = \frac{R}{{EZ}} \Leftrightarrow EZ = x\sqrt 2 \Leftrightarrow EZ = \frac{R}{2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}$

$\displaystyle{(DEZ) = \frac{1}{2}DE \cdot EZ\sin {135^0} \Leftrightarrow }$ $\boxed{(DEZ) = \frac{{{R^2}}}{8}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:600.png

Το ημικύκλιο του παραπάνω σχήματος έχει κέντρο το σημείο και το
τετράπλευρο $O\Gamma \Delta E$ είναι τετράγωνο. Αν η $\Gamma E$ τέμνει
το ημικύκλιο στο , να υπολογίσετε τη γωνία $\theta$ και το εμβαδόν
του τριγώνου $\Delta EZ$ συναρτήσει της ακτίνας του ημικυκλίου.

Προφανώς το $\displaystyle{\vartriangle ZDO}$ είναι ισόπλερο πλευράς $\displaystyle{R}$ .

Άρα, $\displaystyle{\angle MOZ = {15^0} \Rightarrow \angle ZBM = {7.5^0} \Rightarrow \boxed{\angle ZBO = {{45}^0} + {{7.5}^0} = {{52.5}^0}}}$

Με $\displaystyle{DN \bot ZO \Rightarrow DENO}$ εγγράψιμο $\displaystyle{ \Rightarrow ZE \cdot ZC = ZN \cdot ZO \Rightarrow x\left( {x + R} \right) = \frac{{{R^2}}}{2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{R\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}}}$

$\displaystyle{2\left( {DZE} \right) = x \cdot \frac{R}{2} \Rightarrow \boxed{\left( {DZE} \right) = \frac{{{R^2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{8}}}$

: H7.png (59.69 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές

Ημικύκλιο 7.

Ημικύκλιο 7.

Re: Ημικύκλιο 7.

Re: Ημικύκλιο 7.

Re: Ημικύκλιο 7.

Μέλη σε σύνδεση