Αριθμητική πρόοδος
Συντονιστής: exdx
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Αριθμητική πρόοδος
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει αριθμητική πρόοδος με όρους φυσικούς αριθμούς, της οποίας το άθροισμα των
τετραγώνων τριών διαδοχικών όρων να ισούται με το
τετραγώνων τριών διαδοχικών όρων να ισούται με το
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Αριθμητική πρόοδος
Δεν έχω σβέλτη λύση, αλλά ας είναι. Κάνω μία μακροσκελή.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Τρί Δεκ 19, 2023 11:13 pmΝα αποδείξετε ότι δεν υπάρχει αριθμητική πρόοδος με όρους φυσικούς αριθμούς, της οποίας το άθροισμα των
τετραγώνων τριών διαδοχικών όρων να ισούται με το
Η αριθμητική πρόοδος είναι της μορφής , και θέλουμε να ισχύει , ισοδύναμα .
Έπεται ότι άρτιος, έστω . Άρα η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα . Άρα άρτιος, έστω , και η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα . Άρα άρτιος, έστω , και η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα .
Τώρα, προφανώς περιττός και επιπλέον, επειδή το δεν είναι πολλαπλάσιο του , έπεται ότι ούτε το είναι πολλαπλάσιο του . Τα δύο μαζί δίνουν ότι , οπότε η σχέση γράφεται
, ισοδύναμα και άρα . Συνεπώς άρτιος, έστω , οπότε και άρα .
Όμως το είναι άρτιος αριθμός ό,τι και αν είναι το (πράγματι, αυτό είναι άμεσο αν άρτιος ενώ αν περιττός τότε πάλι ο είναι άρτιος ως άθροισμα δύο περιττών.)
'Επεται ότι το αριστερό μέλος της είναι άρτιος αριθμός. Άτοπο αφού το δεξί μέλος είναι περιττός. Τελικά, δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν την αρχική συνθήκη, όπως θέλαμε να δείξουμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4771
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Αριθμητική πρόοδος
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 30, 2023 9:51 pmΔεν έχω σβέλτη λύση, αλλά ας είναι. Κάνω μία μακροσκελή.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Τρί Δεκ 19, 2023 11:13 pmΝα αποδείξετε ότι δεν υπάρχει αριθμητική πρόοδος με όρους φυσικούς αριθμούς, της οποίας το άθροισμα των
τετραγώνων τριών διαδοχικών όρων να ισούται με το
Η αριθμητική πρόοδος είναι της μορφής , και θέλουμε να ισχύει , ισοδύναμα .
Έπεται ότι άρτιος, έστω . Άρα η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα . Άρα άρτιος, έστω , και η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα . Άρα άρτιος, έστω , και η εξίσωση γίνεται , ισοδύναμα .
ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ Μιχάλη.
Μέχρι εδώ, έχω την ίδια λύση.
Στη συνέχεια, εκτός τον τρόπο που παίρνουμε περιπτώσεις για το , θα μπορούσε κάποιος να το δει και ως εξής:
Αν , τότε , άτοπο. Άρα . Τότε ο λήγει σε αντιστοίχως.
Άρα o λήγει σε . Άρα ο λήγει σε αντιστοίχως.
Για να είναι όμως ο τέλειο τετράγωνο, όπως το θέλουμε, θα πρέπει (όχι βέβαια και αρκεί) να λήγει σε
Άρα , ή . Με έχουμε , που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Όμοια και αν
Άρα δείξαμε το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες