5η άσκηση στα πολυώνυμα

#1

Μια και αρχίσαμε με ασκήσεις των πολυωνύμων στέλνω κι εγώ μία παρόμοια άσκηση με εκείνη (την 3η) του κου Μπόρη που υπάρχει εδώ, αλλά που χρειάζεται λίγο διαφορετική επιχειρηματολογία.

Εάν οι $a_1,a_2, \ldots ,a_n$ είναι διακεκριμένοι ακέραιοι να δείξετε ότι το πολυώνυμο $f(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots (x-a_n)^2+1$ δεν γίνεται γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων με συντελεστές ακέραιους.

Αλέξανδρος

#2

cretanman έγραψε:Μια και αρχίσαμε με ασκήσεις των πολυωνύμων στέλνω κι εγώ μία παρόμοια άσκηση με εκείνη (την 3η) του κου Μπόρη αλλά που χρειάζεται λίγο διαφορετική επιχειρηματολογία.

Εάν οι $a_1,a_2, \ldots ,a_n$ είναι διακεκριμένοι ακέραιοι να δείξετε ότι το πολυώνυμο $f(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots (x-a_n)^2+1$ δεν γίνεται γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων με συντελεστές ακέραιους.

Αλέξανδρος

Έστω f = pq για μη τετριμμένα πολυώνυμα p, q με ακέραιους συντελεστές.
Επειδή το f έχει προφανώς μόνο μιγαδικές ρίζες, το ίδιο συμβαίνει τα p, q. Άρα τα p, q είναι άρτιου βαθμού (όπως και το f) και
διατηρούν το πρόσημό τους.
Επειδή ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του f είναι 1, έπεται ότι οι μεγιστοβάθμιοι συντελεστές των p, q είναι $\pm 1$ (είναι ακέραιοι).
Έστω 2Α ο βαθμός του p και 2Β ο βαθμός του q, οπότε 2A+2Β = 2n. Χωρίς βλάβη A $\le$ Β. Αν Α < Β, οπότε Α < n, έχουμε άτοπο για τον εξής λόγο:
Είναι 1 = f(a_k) = p(a_k)q(a_k)

για k = 1, 2, ..., n . Άρα
$p(a_k) = \pm 1 = q(a_k)$ . Μάλιστα θα είναι είτε ΠΑΝΤΑ +1 είτε πάντα -1 διότι p, q διατηρούν τα πρόσημά τους. Αυτό είναι άτοπο γιατί βρήκαμε n τιμές, δηλαδή περισσότερες από τον βαθμό του p, στις οποίες το p λαμβάνει την ίδια τιμή. Συνεπώς Α = Β.
Εξετάζουμε τώρα το p – q. Έχει βαθμό (αυτό είναι ουσιαστικό) το πολύ n-1 (διότι οι μεγιστοβάθμιοι φεύγουν).
Με παρόμοιο συλλογισμό με τον παραπάνω το p – q μηδενίζεται σε n τιμές, άρα είναι εκ ταυτότητος 0. Άρα p= q
(Σημείωση: την ιδέα για το ενδιαφέρον αυτό βήμα την πήρα από την πάρα πολύ ωραία λύση που έδωσε ο Αλέξανδρος cretanman σε
παρόμοια άσκηση χτες).
Είναι λοιπόν για το g(x) = (x-a_1)...(x-a_n)

Άρα (p(x)-g(x))(p(x)+g(x)) = 1. Με ακριβώς παρόμοιο συλλογισμό με τα παραπάνω καταλήγουμε πάλι σε άτοπο εξετάζοντας τον βαθμό των p(x)-g(x), p(x)+g(x) και το γεγονός ότι στις n τιμές a_1, ..., a_n

λαμβάνουν τιμές +1 ή -1. Οι λεπτομέρεις είναι απλές.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#3

cretanman έγραψε:Μια και αρχίσαμε με ασκήσεις των πολυωνύμων στέλνω κι εγώ μία παρόμοια άσκηση με εκείνη (την 3η) του κου Μπόρη αλλά που χρειάζεται λίγο διαφορετική επιχειρηματολογία.

Εάν οι $a_1,a_2, \ldots ,a_n$ είναι διακεκριμένοι ακέραιοι να δείξετε ότι το πολυώνυμο $f(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots (x-a_n)^2+1$ δεν γίνεται γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων με συντελεστές ακέραιους.

Αλέξανδρος

Εισαγωγικές ΕΜΠ 1974 !!!

#4

R BORIS έγραψε: Εισαγωγικές ΕΜΠ 1974 !!!

Πω πω!

Δεν θέλω να σκεφτώ τι θα γινόταν αν έπεφτε σήμερα αυτό το θέμα στις εισαγωγικές.

Και να φανταστεί κανείς ότι στην δεκαετία του '60 τα θέματα των εισαγωγικών ήσαν ακόμη πιο δύσκολα από αυτά του '70. Έδινες
άλλωστε χωριστά Άλγεβρα, χωριστά Γεωμετρία, χωριστά Τριγωνομετρία.

Όταν κάποτε έκανα προπόνηση στην εθνική ομάδα για τις Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες, χρησιμοποιούσα ως βιβλιογραφία τα
βιβλία της δεκαετίας του '60: Ιησουίτες, Τόγκας, Μπαρμπαστάθης, Καννέλος, Ντάνης, Πάλλας, Πανάκης, Λιβέρης, ...

Αχ, αθάνατα βιβλία.

Εννοείται, λύναμε και τα θέματα των εισαγωγικών της δεκαετίας του '60. Εκείνα δηλαδή που διδάχθηκα ως μαθητής στο
Σχολείο (τέλειωσα το 1969).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

5η άσκηση στα πολυώνυμα

5η άσκηση στα πολυώνυμα

Re: 5η άσκηση στα πολυώνυμα

Re: 5η άσκηση στα πολυώνυμα

Re: 5η άσκηση στα πολυώνυμα

Μέλη σε σύνδεση