Θεωρία Αριθμών

2nisic · #1

Να αποδειχθεί πως η εξίσωση:

$\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+1)^{3}}$

Έχει μοναδικές λύσεις στους φυσικούς την x=88,y=835

και την

2nisic · #2

Απάντηση:http://dxdy.ru/topic96678.html

#3

2nisic έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 20, 2021 12:32 pm
Απάντηση:http://dxdy.ru/topic96678.html

Δεδομένου ότι δεν ομιλώ τη ρωσική γλώσσα, θα μπορούσες να μας γράψεις τη λύση;

bouzoukman · #4

matha έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 20, 2021 6:02 pm
Δεδομένου ότι δεν ομιλώ τη ρωσική γλώσσα, θα μπορούσες να μας γράψεις τη λύση;

Αν κάνετε δεξί κλικ σε οποιοδήποτε σημείο της σελίδα και επιλέξετε να σας κάνει μετάφραση στα αγγλικά θα μπορέσετε να διαβάσετε τη λύση.

2nisic · #5

Πλέον κάνει αυτόματη μετάφραση το ίντερνετ σε οποιαδήποτε σελίδα βρίσκεσται.

2nisic · #6

2nisic έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 16, 2021 11:10 am
Να αποδειχθεί πως η εξίσωση:

$\displaystyle{x^{2}+y^{2}=(x+1)^{3}}$

Έχει μοναδικές λύσεις στους φυσικούς την και την

Αν

με

έχουμε

αδύνατο.
Έστω d=(x,y)

και

ένας πρώτος p|d

μετά :

. Οπότε

,

$\Rightarrow$ p=1

αδύνατο.
Άρα d=1

και

.

.
Έστω

τότε:
$d|x+yi+x-yi=2x\Rightarrow N(d)|4x^{2}$
$d|[x+yi-(x-yi)](-i)=2y\Rightarrow N(d)|4y^{2}$
Αλλά επειδή (x,y)=1

έχουμε

$d|x^2+y^2\Rightarrow N(d)|(x^2+y^2)^2=(x+1)^6=odd$
Άρα N(d)=1

οπότε οι

,

είναι πρώτη μεταξύ τους καί άρα τέλειοι κύβοι.

x+yi=(a+bi)^3

και

οπότε $x+1=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\Rightarrow x=a^2+b^2-1$
x+yi=a^3-3ab^2+i(3a^2b-b^3)

.
Άρα

.
$b^2=\frac{a^3-a^2+1}{3a+1}$ .
Οπότε 3a+1|a^3-a^2+1

Οπότε

και δίνουν (x,y):(0,+-1),(88,+-835)

.

Θεωρία Αριθμών

Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Μέλη σε σύνδεση