Διέρχεται από το περίκεντρο
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13301
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Διέρχεται από το περίκεντρο
του περίκυκλού του. Επί των πλευρών θεωρούμε τα σημεία αντίστοιχα, ώστε η να διέρχεται
από το και να είναι . Να δείξετε ότι η διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Διέρχεται από το περίκεντρο
Έστω το μέσο του και το διαμετρικό του . Επίσης έστω . Αφού τα είναι παράλληλα και αντίρροπα, το είναι εσωτερικό του .
Ισχύει οπότε .
Επίσης, λόγω παραλληλίας των ισχύει . Άρα αφού τα είναι εσωτερικά του .
Ισχύει οπότε .
Επίσης, λόγω παραλληλίας των ισχύει . Άρα αφού τα είναι εσωτερικά του .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Διέρχεται από το περίκεντρο
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό http://artofproblemsolving.com/communit ... 098p519896 για μία γρήγορη απόδειξη.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Διέρχεται από το περίκεντρο
Είναι βέβαια
Επιπλέον , έχουμε
Από τις έπεται ότι
Εξάλλου, Συνεπώς, είναι
Επιπλέον, είναι
Εξάλλου, Επομένως έχουμε
Τέλος, είναι
Τελειώνοντας από είναι
Επιπλέον , έχουμε
Από τις έπεται ότι
Εξάλλου, Συνεπώς, είναι
Επιπλέον, είναι
Εξάλλου, Επομένως έχουμε
Τέλος, είναι
Τελειώνοντας από είναι
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Re: Διέρχεται από το περίκεντρο
Ισχύει και η παρακάτω γενίκευση:
Έστω σκαληνό τρίγωνο και μια ευθεία που διέρχεται από το ορθόκεντρο . Έστω ότι η τέμνει την στο και την στο . Αν είναι το περίκεντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και τέμνει τον περίγεγραμμένο κύκλο του στο , να αποδειχθεί ότι δια του κάθετη στην BC και η τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Έστω σκαληνό τρίγωνο και μια ευθεία που διέρχεται από το ορθόκεντρο . Έστω ότι η τέμνει την στο και την στο . Αν είναι το περίκεντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και τέμνει τον περίγεγραμμένο κύκλο του στο , να αποδειχθεί ότι δια του κάθετη στην BC και η τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του .
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Διέρχεται από το περίκεντρο
Καλησπέρα! Ωραίο και δύσκολο. Δίνω τη λύση μου. Έστω R η δεύτερη τομή της εκ του F κάθετης στην ΒC με τον κύκλο (ABC).Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑Τετ Ιουν 14, 2023 6:25 pmΙσχύει και η παρακάτω γενίκευση:
Έστω σκαληνό τρίγωνο και μια ευθεία που διέρχεται από το ορθόκεντρο . Έστω ότι η τέμνει την στο και την στο . Αν είναι το περίκεντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και τέμνει τον περίγεγραμμένο κύκλο του στο , να αποδειχθεί ότι δια του κάθετη στην BC και η τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του .
1ο μέρος: Έστω Είναι από νόμους ημιτόνων κλπ
Ομοίως προκύπτει
Από τις προκύπτει πως
Εξάλλου, Συνεπώς, έχουμε
Επομένως, είναι
Μέρος 2: Έχουμε δείξει στο μέρος 1 ότι
Εξάλλου, Συνεπώς, είναι
Οπότε είναι
Από τις σχέσεις συμπεραίνουμε ότι οπότε
Συνεπώς, τα σημεία είναι συνευθειακά που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι τα παρακάτω είναι ίσα μεταξύ τους:
Πράγματι, αυτό αληθεύει καθώς
Τέλος.
Υ.Σ Χρησιμοποίησα τα σημεία της άσκησης του Γιώργου Βισβικη και θεώρησα F την δεύτερη τομή της AK με τον κύκλο (ABC). Επί της ουσίας, δεν δόθηκε ως δεδομένο ότι AD=AE .Αυτή είναι η γενίκευση . Πολύ καλή άσκηση!!
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Διέρχεται από το περίκεντρο
Η δική μου προσπάθεια χρηιμοποιεί την υπόδειξη του Σιλουανού.
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι , είναι διχοτόμοι των κατακορυφήν γωνιών , αντίστοιχα.
Επομένως, από θεώρημα διχοτόμων έχουμε και .
Αλλά . Ως εκ τούτου, .
Έστω . Τότε και .
Θα χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο λήμμα:
Τα σημεία και κινούνται με σταθερές ταχύτητες (όχι αναγκαία ίσες) σε δύο σταθερές ευθείες που τέμνονται
στο σημείο . Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , διέρχεται από δύο σταθερά σημεία
και , όπου το είναι το κέντρο της σπειροειδούς ομοιότητας που μετασχηματίζει τα σημεία στα σημεία .
Έστω ότι αρχικά τα , βρίσκονται στις θέσεις των κορυφών , αντίστοιχα. Μετά παρέλευση χρόνου
στις θέσεις , , οπότε σύμφωνα με τις σχέσεις , μετά παρέλευση χρόνου τα , θα βρίσκονται στις θέσεις
, αντίστοιχα. Ως εκ τούτου, οι κύκλοι , και θα διέρχονται από τα σημεία , .
Έστω , , τα κέντρα των κύκλων , , αντίστοιχα. Τότε (η διάκεντρος είναι κάθετος στην κοινή χορδή των κύκλων).
Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου το περίκεντρο αυτού του τριγώνου ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας , η οποία
τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο αντιδιαμετρικό σημείο του .
Εφόσον η είναι διάμετρος του κύκλου (), τότε . Επομένως, το σημείο τομής της ευθείας
με τον κύκλο θα είναι το αντιδιαμετρικό της κορυφής σε αυτόν τον κύκλο.
Αλλά από γνωστή ιδιότητα το συμμετρικό του ορθόκεντρου του τριγώνου ως προς το μέσο της πλευράς είναι
το αντιδιαμετρικό της κορυφής . Ως εκ τούτου, τα σημεία , , , ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Είναι . Εφόσον , οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος της δέσμης ευθειών,
οι ευθείες , , αποτελούν δέσμη, και εφόσον , τότε και η διέρχεται από το .
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι , είναι διχοτόμοι των κατακορυφήν γωνιών , αντίστοιχα.
Επομένως, από θεώρημα διχοτόμων έχουμε και .
Αλλά . Ως εκ τούτου, .
Έστω . Τότε και .
Θα χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο λήμμα:
Τα σημεία και κινούνται με σταθερές ταχύτητες (όχι αναγκαία ίσες) σε δύο σταθερές ευθείες που τέμνονται
στο σημείο . Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου , διέρχεται από δύο σταθερά σημεία
και , όπου το είναι το κέντρο της σπειροειδούς ομοιότητας που μετασχηματίζει τα σημεία στα σημεία .
Έστω ότι αρχικά τα , βρίσκονται στις θέσεις των κορυφών , αντίστοιχα. Μετά παρέλευση χρόνου
στις θέσεις , , οπότε σύμφωνα με τις σχέσεις , μετά παρέλευση χρόνου τα , θα βρίσκονται στις θέσεις
, αντίστοιχα. Ως εκ τούτου, οι κύκλοι , και θα διέρχονται από τα σημεία , .
Έστω , , τα κέντρα των κύκλων , , αντίστοιχα. Τότε (η διάκεντρος είναι κάθετος στην κοινή χορδή των κύκλων).
Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου το περίκεντρο αυτού του τριγώνου ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας , η οποία
τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο αντιδιαμετρικό σημείο του .
Εφόσον η είναι διάμετρος του κύκλου (), τότε . Επομένως, το σημείο τομής της ευθείας
με τον κύκλο θα είναι το αντιδιαμετρικό της κορυφής σε αυτόν τον κύκλο.
Αλλά από γνωστή ιδιότητα το συμμετρικό του ορθόκεντρου του τριγώνου ως προς το μέσο της πλευράς είναι
το αντιδιαμετρικό της κορυφής . Ως εκ τούτου, τα σημεία , , , ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Είναι . Εφόσον , οπότε σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος της δέσμης ευθειών,
οι ευθείες , , αποτελούν δέσμη, και εφόσον , τότε και η διέρχεται από το .
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Διέρχεται από το περίκεντρο
Ωραία λύση, αλλά προσοχή! Αυτή είναι η λύση της αρχικής άσκησης και όχι της γενίκευσης!
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Διέρχεται από το περίκεντρο
Έστω ABC σκαληνό τρίγωνο και μια ευθεία που διέρχεται από το ορθόκεντρο H.
Έστω ότι η τέμνει την AB στο E και την AC στο F. Αν K είναι το περίκεντρο
του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AEF και AK τέμνει τον περίγεγραμμένο
κύκλο του ABC στο D, να αποδειχθεί ότι δια του D κάθετη στην BC και η HK τέμνονται
στον περιγεγραμμένο κύκλο του (ABC).
Το πρόβλημα χωρίζεται σε δύο υποπροβλήματα:
1. Η ευθεία τέμνει το τόξο του κύκλου σε σημείο , έτσι ώστε .
Την απόδειξη αυτού δίνει ο ο ζωντανός Θρύλος της Γεωμετρίας Jean-Louis AYME
στο ιστολόγιό του και συγκεκριμένα στη διεύθυνση
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Doc ... ie%205.pdf
προβλήματα 13, 14, σελ. 39-43.
2. Η κάθετος της που άγεται από το σημείο τέμνει το τόξο του κύκλου
σε σημείο , έτσι ώστε . Απόδειξη: Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Τότε,
( διάμετρος του ).
Έστω , οι προβολές του στις , αντίστοιχα. Τότε, η ευθεία είναι η ευθεία Simson
του σημείου στον κύκλο , Αν , τότε . και έστω το σημείο τομής της ευθεία
με το τόξο του κύκλου .
Εφόσον και είναι:
και
Από , προκύπτει ότι .
Για την περίπτωση του σχήματος (για άλλες περιπτώσεις εργαζόμαστε με όμοιο τρόπο) έχουμε ότι
το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε . Αλλά .
Από , , και λόγω της .
Έστω ότι η τέμνει την AB στο E και την AC στο F. Αν K είναι το περίκεντρο
του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AEF και AK τέμνει τον περίγεγραμμένο
κύκλο του ABC στο D, να αποδειχθεί ότι δια του D κάθετη στην BC και η HK τέμνονται
στον περιγεγραμμένο κύκλο του (ABC).
Το πρόβλημα χωρίζεται σε δύο υποπροβλήματα:
1. Η ευθεία τέμνει το τόξο του κύκλου σε σημείο , έτσι ώστε .
Την απόδειξη αυτού δίνει ο ο ζωντανός Θρύλος της Γεωμετρίας Jean-Louis AYME
στο ιστολόγιό του και συγκεκριμένα στη διεύθυνση
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Doc ... ie%205.pdf
προβλήματα 13, 14, σελ. 39-43.
2. Η κάθετος της που άγεται από το σημείο τέμνει το τόξο του κύκλου
σε σημείο , έτσι ώστε . Απόδειξη: Η τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Τότε,
( διάμετρος του ).
Έστω , οι προβολές του στις , αντίστοιχα. Τότε, η ευθεία είναι η ευθεία Simson
του σημείου στον κύκλο , Αν , τότε . και έστω το σημείο τομής της ευθεία
με το τόξο του κύκλου .
Εφόσον και είναι:
και
Από , προκύπτει ότι .
Για την περίπτωση του σχήματος (για άλλες περιπτώσεις εργαζόμαστε με όμοιο τρόπο) έχουμε ότι
το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε . Αλλά .
Από , , και λόγω της .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης