Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (17)

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2230
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
Επικοινωνία:
Επικοινωνία vittasko

Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (17)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Φεβ 05, 2024 7:30 pm

Με την ευκαιρία της 2222ης ανάρτησής μου ( δεύτερος για μένα, τετραψήφιος αριθμός με όλα τα ψηφία ίδια ).

Δίνεται τραπέζιο ABCD με AD\parallel BC και έστω P,\ Q, τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του ώστε να είναι PA\parallel QC και PB\parallel QD. Απόδείξτε ότι η ευθεία RT, όπου R\equiv AQ\cap DP και T\equiv BQ\cap CP περνάει από το σημείο S\equiv AC\cap BD.
t=181_t=75387.PNG
Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (17).
t=181_t=75387.PNG (22.25 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές
Κώστας Βήττας

ΥΓ. Ελπίζω να ζω στο τέλος της επόμενης δεκαπενταετίας, φθάνοντας στην ανάρτηση με αριθμό τον τέταρτο αντίστοιχο τετραψήφιο.


Λέξεις Κλειδιά:
μεταβλητή-ευθεία
Κορυφή
Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 28, 2024 10:16 pm
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Ιάσων Κωνσταντόπουλος

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (17)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ιάσων Κωνσταντόπουλος » Κυρ Μαρ 31, 2024 4:59 pm

ΓΡΗΓΟΡΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Από τα σημεία A,B,C,D,P διέρχεται μοναδική κωνική τομή που υπό τα δεδομένα του προβλήματος είναι μια υπερβολή. Οι υποθέσεις του προβλήματος καθιστούν το Q επίσης σημείο αυτής της υπερβολής. Λόγω του hexagrammum mysticum theorem του Pascal (https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal's_theorem) τα R,S,T θα πρέπει να είναι συνευθειακά.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Κατ' αρχάς αξίζει να σημειώσουμε ότι για την ισχύ του ζητουμένου δεν είναι αναγκαίο τα σημεία P,Q να βρίσκονται στο εσωτερικό του τραπεζίου ABCD. Ειδικότερα δεν είναι αναγκαίο να ορίζονται οι ευθείες CQ,DQ. Επίσης η κλειστή τεθλασμένη ABCDA δεν είναι απαραίτητο να είναι απλή. Θα επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα ζητώντας:

i) τα A,B,C,D να είναι διαφορετικά ανά δυο, AD\parallel BC και οι ευθείες DB,AC να τέμνονται στο S.

ii) το P να είναι οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου με την εξαίρεση των σημείων:

1) της ευθείας AB. Αν P\ne A,B τότε ορίζονται οι ευθείες PA,PB. Αν το P δεν είναι σημείο της AB τότε οι ευθείες αυτές δεν είναι παράλληλες και οι (μοναδικές) παράλληλες από το C στην AP και από το D στην BP τέμνονται σε μοναδικό σημείο, το Q. Έτσι λοιπόν το P καθορίζει το Q με μοναδικό τρόπο αποτελώντας τη μοναδική ελεύθερη παράμετρο του προβλήματος.

2) C,D προκειμένου αφ' ενός να ορίζονται αντίστοιχα οι ευθείες CP,DP, αφ' ετέρου να ορίζονται αντίστοιχα οι ευθείες QA,QB.

3) του γεωμετρικού τόπου των P για τα οποία AQ\parallel DP (για να ορίζεται το R)

4) του γεωμετρικού τόπου των P για τα οποία BQ\parallel CP (για να ορίζεται το T)

Υπό τις παραπάνω συνθήκες θα αποδείξουμε ότι τα R,S,T είναι συνευθειακά (δεν αναφερόμαστε σε ευθεία RT γιατί αυτή δεν ορίζεται για κάθε P π.χ. αν P=S τότε P=S=Q=R=T ).

Στην παρούσα λύση δε θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των τόπων που αναφέρονται στα 3),4). Θα αρκεστούμε να αναφέρουμε πως αν συμπεριλάβουμε σε αυτούς τα εξαιρεμένα σημεία A,B,C,D, καθένας από αυτούς καθίσταται μια κωνική τομή. Συγκεκριμένα ο Γ.Τ. στο 3) δίνει την κωνική τομή που διέρχεται από τα A,B,C,D και της οποίας η εφαπτομένη στο D είναι παράλληλη στην ευθεία AB, ενώ ο Γ.Τ. στο 4) δίνει την κωνική τομή που διέρχεται από τα A,B,C,D και της οποίας η εφαπτομένη στο C είναι παράλληλη στην ευθεία AB.

Θα προχωρήσουμε τώρα στην απάντηση του προβλήματος.

Με εφαρμογή ενός κατάλληλου αφφινικού μετασχηματισμού αρκεί να θεωρήσουμε ότι A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(a,1) με a\ne 0,-1. Έστω επίσης σημείο P(k,m)\ne A,B.

Θεωρούμε τις ευθείες \varepsilon_1,\varepsilon_2, τις μοναδικές παράλληλες αντίστοιχα από το C στην AP και από το D στην BP.
\left{\begin{cases}\varepsilon_1\colon (1-m)(x-1)+ky=0\\ \varepsilon_2\colon -m(x-a)+k(y-1)=0 \end{cases}

Αν το P βρίσκεται εκτός της ευθείας AB (k\ne0) οι \varepsilon_1,\varepsilon_2 θα τέμνονται σε μοναδικό σημείο Q με συντεταγμένες Q(x_Q,y_Q) με \begin{cases}x_Q=1-k+m(a-1)\\y_Q=\frac{1}{k}(1-m)(k+m(1-a))\end{cases}

Στο σημείο που βρισκόμαστε κανείς θα μπορούσε να προχωρήσει με αναλυτικό brute force, να υπολογίσει τις συντεταγμένες των R(x_R,y_R),T(x_T,y_T),S(x_S,y_S) και να δείξει ότι είναι συνευθειακά σημεία επαληθεύοντας την ισχύ της ισότητας \begin{vmatrix}x_R&y_R&1\\x_T&y_T&1\\x_S&y_S&1\end{vmatrix}=0. Μια τέτοια προσέγγιση στην παρούσα ανάρτηση είναι άνευ νοήματος, οπότε θα προχωρήσουμε γεωμετρικότερα κρατώντας τις πράξεις στο ελάχιστο δυνατό.

Έστω επιπλέον ότι P\ne A,B,C,D. Θεωρούμε τη (μοναδική μεν, ενδεχομένως εκφυλισμένη δε) κωνική τομή που διέρχεται από τα A,B,C,D,P με εξίσωση
C_{ABCDP}\colon\begin{vmatrix}x^2&y^2&x y &x&y&1\\0&1&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&1\\1&0&0&1&0&1\\a^2&1&a&a&1&1\\k^2&m^2&km&k&m&1\end{vmatrix}=0.

Με λίγες πράξεις διαπιστώνει κανείς ότι το Q είναι επίσης σημείο της κωνικής τομής C_{ABCDP}

Γνωρίζουμε ότι Q\ne A,B οπότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1) Q=P οπότε επειδή CQ\parallel AP θα πρέπει A,P,C συνευθειακά και ομοίως B,P,D συνευθειακά οπότε P=Q=S. Βρίσκουμε συνεπώς ότι R=S=T και το ζητούμενο ισχύει τετριμμένα.
2) Q=C οπότε CD\parallel PB, R=AC\cap DP και T=BC\cap CP και συνεπώς T=C. Παρατηρούμε λοιπόν ότι T,S,R είναι σημεία της ευθείας AC οπότε το ζητούμενο ισχύει.
3) Q=D οπότε CD\parallel PA, T=BD\cap CP και R=AD\cap DP και συνεπώς R=D. Παρατηρούμε λοιπόν ότι T,S,R είναι σημεία της ευθείας BD οπότε το ζητούμενο ισχύει.

4) Q\ne C,D,P οπότε έχουμε μια εξάδα σημείων που βρίσκονται στην ίδια κωνική τομή. Αν οι ευθείες CP,BQ τέμνονται στο T και οι ευθείες DP,AQ τέμνονται στο R, τότε μπορούμε να επικαλεστούμε το hexagrammum mysticum theorem του Pascal (https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal's_theorem) από το οποίο πάλι έπεται το ζητούμενο. \blacksquare


Ιάσων Κωνσταντόπουλος
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες