3 προς 5

KARKAR · #1

: 3 προς 5.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

Στην προέκταση της διακέντρου

δύο ίσων μοναδιαίων κύκλων , παίρνουμε σημείο

,

ώστε $OP=\dfrac{3}{4}$ και φέρουμε κάθετη προς αυτήν , η οποία τέμνει τον (O)

στο σημείο

.

Οι εφαπτόμενες ST,SQ

προς τον

τέμνουν τον (O)

στα σημεία L,N

.

Δείξτε ότι : $\dfrac{(SLN)}{(LNQT)}=\dfrac{3}{5}$ . Παρακαλώ όχι παραπομπές

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλές γιορτές , Χρόνια πολλά σε όλους !

: 24-12-17 KARKAR 3 προς 5.PNG (10.3 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Αν θέσουμε (για λιγότερους παρονομαστές) OA=AK=4

τότε

και με το Π.Θ στα ορθ. τρίγωνα POS,PSK,KST

παίρνουμε :
$PS^{2}=OS^{2}-OP^{2}=7...SK^{2}=PS^{2}+PK^{2}=128...ST^{2}=SK^{2}-KT^{2}=112 \Rightarrow ST=4\sqrt{7}$
Φέρω $OM\perp SL ..OF\perp KT$ και θέτω OM=x .. SM=ML=y

τότε είναι $KF=4-x..OF=MT=ST-SM=4\sqrt{7} -y$
και πάλι με το Π.Θ στα ορθ. MOS,FOK

προκύπτουν :
$x^{2}+y^{2}=OS^{2}=16...\left ( 4-x \right )^{2}+\left ( 4\sqrt{7}-y \right )^{2}=OK^{2}=64$ .
H λύση του συστήματος δίνει $OM=x=3..SM=ML=y=\sqrt{7}\Rightarrow SL=2\sqrt{7}=LT$

Θέτω $O\widehat{S}K=K\widehat{S}T =\omega$ τότε $\varepsilon \varphi \omega =KT/KS=1/\sqrt{7}$ και $\eta \mu 2\omega =\dfrac{2\varepsilon \varphi \omega }{1+\varepsilon \varphi ^{2}\omega }=\sqrt{7}/4 ..\sigma \upsilon \nu 2\omega =3/4$ .
Με τον Ν.Η στο τρίγωνο LNS

: $LN=2OA\eta \mu 2\omega =2\sqrt{7}=SL$ .

Φέρω $LI\perp SN$ οπότε $SI=SL\sigma \upsilon \nu 2 \omega =3\sqrt{7}/2 \Rightarrow SN=3\sqrt{7}$ ενώ $SQ=ST=4\sqrt{7}$

Άρα $\dfrac{\left ( SLN \right )}{\left ( SQT \right )}=\dfrac{SN}{SQ}\cdot \dfrac{SL}{ST}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}$ και έπεται το ζητούμενο .

Φιλικά Γιώργος .

3 προς 5

3 προς 5

Re: 3 προς 5

Μέλη σε σύνδεση