Συναρτησιακή!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή!
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή!
Θα δείξουμε ότι οι μόνες λύσεις είναι οι για κάθε και για κάθε οι οποίες προφανώς ικανοποιούν τη σχέση.
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν είμαστε στην πρώτη περίπτωση και άρα υπάρχει με .
Για έχουμε άρα ή . Σε κάθε περίπτωση υπάρχει ώστε . Για παίρνω και άρα .
Αφού και αφού ή , τότε έχουμε και . Για παίρνω
για κάθε
Για στην (1) παίρνουμε και επειδή από την (1) παίρνουμε , δηλαδή η είναι περιττή.
Χρησιμοποιώντας την (1) στην αρχική έχουμε
οπότε
για κάθε
Για στη (2) παίρνω
ενώ για παίρνω η οποία ισχύει προφανώς και για .
Η (4) δείχνει ότι το σύνολο τιμών της περιέχει το και επειδή η είναι περιττή, θα είναι και επί. Αντικαθιστώντας της (3) στη (2) και διαιρώντας με για παίρνουμε
η οποία ισχύει και για . Επειδή η είναι επί για κάθε θα υπάρχει με και για στην (5) έχουμε
για κάθε
Τότε έχουμε
αλλά από την (4) έχουμε και
Καταλήγουμε στην που για γίνεται . Άρα, αφού η είναι και περιττή, παίρνουμε ότι η είναι προσθετική (ικανοποιεί τη συναρτησιακή του Cauchy). Επειδή είναι και πολλαπλασιαστική (ικανοποιεί την (6)) τότε είτε είναι ταυτοτική είτε είναι η ταυτοτική συνάρτηση.
Αποδεικνύω το τελευταίο μιας και είναι χρήσιμο:
Για θέτω . Τότε . Άρα η είναι μονότονη και αφού ικανοποιεί την Cauchy θα είναι της μορφής για κάποιο (γνωστό). Επειδή παίρνουμε ή .
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν είμαστε στην πρώτη περίπτωση και άρα υπάρχει με .
Για έχουμε άρα ή . Σε κάθε περίπτωση υπάρχει ώστε . Για παίρνω και άρα .
Αφού και αφού ή , τότε έχουμε και . Για παίρνω
για κάθε
Για στην (1) παίρνουμε και επειδή από την (1) παίρνουμε , δηλαδή η είναι περιττή.
Χρησιμοποιώντας την (1) στην αρχική έχουμε
οπότε
για κάθε
Για στη (2) παίρνω
ενώ για παίρνω η οποία ισχύει προφανώς και για .
Η (4) δείχνει ότι το σύνολο τιμών της περιέχει το και επειδή η είναι περιττή, θα είναι και επί. Αντικαθιστώντας της (3) στη (2) και διαιρώντας με για παίρνουμε
η οποία ισχύει και για . Επειδή η είναι επί για κάθε θα υπάρχει με και για στην (5) έχουμε
για κάθε
Τότε έχουμε
αλλά από την (4) έχουμε και
Καταλήγουμε στην που για γίνεται . Άρα, αφού η είναι και περιττή, παίρνουμε ότι η είναι προσθετική (ικανοποιεί τη συναρτησιακή του Cauchy). Επειδή είναι και πολλαπλασιαστική (ικανοποιεί την (6)) τότε είτε είναι ταυτοτική είτε είναι η ταυτοτική συνάρτηση.
Αποδεικνύω το τελευταίο μιας και είναι χρήσιμο:
Για θέτω . Τότε . Άρα η είναι μονότονη και αφού ικανοποιεί την Cauchy θα είναι της μορφής για κάποιο (γνωστό). Επειδή παίρνουμε ή .
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή!
Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον κ. Δημήτρη για την λύση. Η πηγή της άσκησης είναι από το Topics in Functional Equations των Andreescu, Boreico, Mushkarov και Nikolov (κεφάλαιο 3, πρόβλημα 3.18). Η λύση μου είναι, περιληπτικά, η εξής:Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 01, 2023 8:53 pmΝα βρείτε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η δεν είναι η μηδενική συνάρτηση.
Βήμα 1: και . Πράγματι, με στην αρχική προκύπτει ότι και άρα αν τότε με σταθερά, κάτι το οποίο εύκολα απορρίπτεται. Συνεπώς και, με προκύπτει .
Βήμα 2: και . Πράγματι, για την πρώτη σχέση αρκεί να πάρουμε στην αρχική.
Για την δεύτερη, με προκύπτει ότι άρα όπως θέλαμε.
Για την τρίτη σχέση, με η αρχική δίνει ότι
και άρα όπως θέλαμε.
Βήμα 3: επί. Πράγματι, από την προκύπτει ότι αν και μόνο αν , συνεπώς για και στην αρχική παίρνουμε ότι , και άρα . Επομένως, η παίρνει κάθε τιμή στο και αφού παίρνει και κάθε τιμή στο .
Βήμα 4: . Είναι, και άρα αφού και η είναι επί, διαιρώντας κατά μέλη πρέπει για κάθε .
Με προκύπτει ότι . Αν όμως τότε άτοπο.
Βήμα 5: Η είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Πράγματι, από τα παραπάνω προκύπτει ότι η είναι περιττή, και άρα συνεπώς
συνεπώς και αφού προκύπτει εύκολα ότι για κάθε .
Είναι, τέλος, εύκολο να ελέγξουμε ότι η μηδενική και η ταυτοτική συνάρτηση ικανοποιούν την δοσμένη σχέση.
Παρατήρηση: Μία παραλλαγή του προβλήματος είναι η εξής:
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε
(η ιδέα για την παραλλαγή οφείλεται στον Πρόδρομο )
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες