Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη
Με αφορμή αυτό το θέμα, ας βρεθεί το ελάχιστο της παρακάτω παράστασης:
,
δεδομένων των συνθηκών .
Σχόλιο: Το θέμα ίσως να είναι για το φάκελο της προχωρημένης άλγεβρας Seniors. Έχω μόνο μία λύση (τη λύση κατά την κατασκευή) και δεν μπορώ να κάνω ακριβή εκτίμηση της δυσκολίας. Εικάζω ότι ,δεδομένης της απλότητας των αλγεβρικών εκφράσεων του προβλήματος, θα υπάρχει ευκολότερη λύση.
,
δεδομένων των συνθηκών .
Σχόλιο: Το θέμα ίσως να είναι για το φάκελο της προχωρημένης άλγεβρας Seniors. Έχω μόνο μία λύση (τη λύση κατά την κατασκευή) και δεν μπορώ να κάνω ακριβή εκτίμηση της δυσκολίας. Εικάζω ότι ,δεδομένης της απλότητας των αλγεβρικών εκφράσεων του προβλήματος, θα υπάρχει ευκολότερη λύση.
Κώστας
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη
Θέτουμε και παίρνουμε . Αυτό δίνει ότι υπάρχει οξυγώνιο τρίγωνο ώστε . Τότε . Επειδή , τότε .
Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την παράσταση
για με .
Η παράσταση είναι κυρτή στο . Πράγματι έχουμε
Όμως στο η είναι αύξουσα και η φθίνουσα, άρα η είναι αύξουσα. Είναι επίσης θετική άρα και η είναι αύξουσα. Το ίδιο θα ισχύει και για την .
Τώρα από την ανισότητα Jensen έχουμε
Ισότητα αν και μόνο αν που δίνει
Θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την παράσταση
για με .
Η παράσταση είναι κυρτή στο . Πράγματι έχουμε
Όμως στο η είναι αύξουσα και η φθίνουσα, άρα η είναι αύξουσα. Είναι επίσης θετική άρα και η είναι αύξουσα. Το ίδιο θα ισχύει και για την .
Τώρα από την ανισότητα Jensen έχουμε
Ισότητα αν και μόνο αν που δίνει
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη
Ας το δούμε και διαφορετικά. Γράφουμε Η γίνεται
Ισοδύναμα έχουμε που δίνει .
Έστω . Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε
Άρα
Ισοδύναμα έχουμε που δίνει .
Έστω . Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε
Άρα
Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη
Κύριε Δημήτρη, σας ευχαριστώ για τις δύο λύσεις (η πρώτη μεθοδική και η δεύτερη ευφάνταστη). Τη λύση μου , που είναι διαφορετική και χρησιμοποιεί το αποτέλεσμα στο σύνδεσμο της εκφώνησης, θα τη γράψω μετά από κάποιο σύντομο διάστημα ,γιατί το θέμα είναι πρόσφατο και μπορεί να θέλει και κάποιο άλλο μέλος του φόρουμ να ασχοληθεί.
Κώστας
Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη
Πριν δώσω τη λύση που έχω κατά νου, θα δώσω μια μικρή υπόδειξη , που δείχνει και ότι ισχύει ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα από αυτό που ζητείται:
Δεδομένων των συνθηκών της εκφώνησης, ας δειχθεί η διπλή ανισότητα:
.
Δεδομένων των συνθηκών της εκφώνησης, ας δειχθεί η διπλή ανισότητα:
.
Κώστας
Re: Ελαχιστοποίηση παράστασης υπό συνθήκη
Καλησπέρα.
Δίνω μια λύση για τη διπλή ανισότητα στο προηγούμενο ποστ.
Για την αριστερή ανισότητα:
Θα δείξω αρχικά ότι .
Ισοδύναμα, αρκεί:
.
Θέτω και ισοδύναμα αρκεί:
.
Όμως, από C-S:
, γιατί η τελευταία ισοδυναμεί με
.
Προσθέτω στην (1) την ανισότητα
(από την άσκηση του συνδέσμου)
και παίρνω τελικά τη ζητούμενη ανισότητα.
Για τη δεξιά ανισότητα:
, από όπου προκύπτει άμεσα η ζητούμενη.
Δίνω μια λύση για τη διπλή ανισότητα στο προηγούμενο ποστ.
Για την αριστερή ανισότητα:
Θα δείξω αρχικά ότι .
Ισοδύναμα, αρκεί:
.
Θέτω και ισοδύναμα αρκεί:
.
Όμως, από C-S:
, γιατί η τελευταία ισοδυναμεί με
.
Προσθέτω στην (1) την ανισότητα
(από την άσκηση του συνδέσμου)
και παίρνω τελικά τη ζητούμενη ανισότητα.
Για τη δεξιά ανισότητα:
, από όπου προκύπτει άμεσα η ζητούμενη.
Κώστας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης