Τι τιμές παίρνει το f(2);

#1

Ας δούμε και τη συνέχεια αυτού εδώ.

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε f(f(f(x))) = 8x-7

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του f(2)

.

#2

Διέγραψα μια δημοσίευση , βρίσκοντας ότι μια λύση είναι η $\displaystyle{f(2)=3}$ , αφού μόλις είδα είναι η 'ίδια άσκηση που είχε θέσει ο Θανάσης και έδωσε μια λύση ο Μιχάλης

abgd · #3

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 14, 2022 5:35 pm
Ας δούμε και τη συνέχεια αυτού εδώ.

Έστω $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του .

Μπορούμε να δείξουμε ότι η μοναδική

για την οποία ισχύει η f(f(f(x))) = 8x-7

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ είναι η f(x)=2x-1

,

με μία όμως επιπλέον προϋπόθεση: η

να είναι παραγωγίσιμη στο

...

Από την f(f(f(x))) = 8x-7

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . για x:f(x)

προκύπτει:

$\displaystyle{ f(8x-7)=8f(x)-7}$ και για $\displaystyle{ x:1+\frac{x}{8}}$ έχουμε την

$\displaystyle{ f(1+x)-1=8\left(f\left(1+\frac{x}{8}\right)-1\right) \ \ \bf(1)}$

Επαγωγικά τώρα προκύπτει η

$\displaystyle{ f(1+x)-1=8^n\left(f\left(1+\frac{x}{8^n}\right)-1\right), \ \ \forall n \in \mathbb{N}}$

Για $x\ne 0$ είναι: $\displaystyle{ \frac{f(1+x)-1}{x}=\frac{f\left(1+\frac{x}{8^n}\right)-1}{\frac{x}{8^n}}, \ \ \forall n \in \mathbb{N}, \ \ \bf(2)}$

Με δεδομένο ότι: $\displaystyle{ \frac{x}{8^n}\to 0}$ και η

είναι παραγωγίσιμη στο

, από την $\bf{(2)}$ θα έχουμε:

$\displaystyle{ \lim_{n\to +\infty}{\frac{f(1+x)-1}{x}}= \lim_{n\to +\infty}{\frac{f\left(1+\frac{x}{8^n}\right)-1}{\frac{x}{8^n}}}=f^{\prime}(1)}$

Έτσι, θα είναι $\displaystyle{ f(x+1)=xf^{\prime}(1)+1, \ \ x\ne 0}$ . Όμως $\displaystyle{ f(1)=1}$ και έτσι θα ισχύει:

$\displaystyle{ f(x+1)=xf^{\prime}(1)+1, \ \ \forall x \in \mathbb{R}}$ και για $\displaystyle{ x:x-1}$

$\displaystyle{ f(x)=xf^{\prime}(1)+1-f^{\prime}(1), \ \ \forall x \in \mathbb{R}}$ , απ' όπου, με επαλήθευση της αρχικής f(f(f(x))) = 8x-7

προκύπτει ότι f(x)=2x-1

Σημείωση: Το ότι $\displaystyle{f^{\prime}(1)=2}$ προκύπτει και από την παραγώγιση της αρχικής ισότητας στο

,

#4

Επαναφορά.

#5

Εδώ μπορείτε να δείτε παράδειγμα με f(2) = 5

.

Άλλες τιμές που μπορεί να πάρει;

Τι τιμές παίρνει το f(2);

Τι τιμές παίρνει το f(2);

Re: Τι τιμές παίρνει το f(2);

Re: Τι τιμές παίρνει το f(2);

Re: Τι τιμές παίρνει το f(2);

Re: Τι τιμές παίρνει το f(2);

Μέλη σε σύνδεση