Και λίγο ρυθμό

#1

Α). Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=3-3x^2}$ . Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

Β). Αν για την συνάρτηση $\displaystyle{g}$ γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{g{'}(x)=\frac{f(x)}{3}}$ , να αποδείξετε ότι στο σημείο που ο ρυθμός μεταβολής της $\displaystyle{g}$ παρουσιάζει μέγιστο, η γραφική παράσταση της $\displaystyle{g}$ δέχεται εφαπτομένη παράλληλη προς την διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{xOy}}$ .

Γ). Να υπολογίσετε το $\displaystyle{lim_{x\rightarrow 1}\frac{g{'}(x)}{\sqrt{x}-1}}$

Γιώργος Απόκης · #2

Καλημέρα.

Α) Έχουμε : $\displaystyle{f'(x)=-6x}$ η οποία μηδενίζεται στο $\displaystyle{x=0}$ . Είναι : $\displaystyle{f'(x)>0\Leftrightarrow x<0,~f'(x)<0\Leftrightarrow x>0}$

επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{(-\infty,0]}$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ .

Παρουσιάζει μέγιστο το $\displaystyle{f(0)=3}$ .

B) Ο ρυθμός μεταβολής της $\displaystyle{g}$ είναι : $\displaystyle{g'(x)=\frac{3-3x^2}{3}=1-x^2}$ για την οποία έχουμε : $\displaystyle{g''(x)=-2x}$ .

Είναι : $\displaystyle{g''(x)>0\Leftrightarrow x<0,~g''(x)<0\Leftrightarrow x>0}$ άρα η ο ρυθμός μεταβολής έχει μέγιστο στο $\displaystyle{x=0}$

και η εφαπτομένη της $\displaystyle{C_g}$ έχει συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle{\lambda=g'(0)=1=\epsilon \phi 45^o}$ .

Γ) Έχουμε : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{g'(x)}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x^2}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(1-x)(1+x)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-(x-1)(1+x)(\sqrt{x}+1)}{x-1}=}$

$\displaystyle{=\lim_{x\rightarrow 1}[-(1+x)(\sqrt{x}+1)]=-2\cdot 2=-4}$

Και λίγο ρυθμό

Και λίγο ρυθμό

Re: Και λίγο ρυθμό

Μέλη σε σύνδεση