Τμήμα και εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Τμήμα και εφαπτομένη.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 279 φορές

Προεκτείνω την χορδή

, του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : AS=BA

και

φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

, το οποίο τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

Υπολογίστε το τμήμα

( συναρτήσει της ακτίνας OA=r

) και την $\tan\theta$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2024 9:34 am
Τμήμα και εφαπτομένη.pngΠροεκτείνω την χορδή , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : και

φέρω το εφαπτόμενο τμήμα , το οποίο τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει της ακτίνας ) και την $\tan\theta$ .

Αν η εφαπτόμενη στο

τέμνει την

sto

,θα είναι

και λόγω ισότητας των τριγώνων

OBC,OPS

είναι και

άρα

οπότε $DO \bot CS$

Επομένως $OP^2=x.PS\Rightarrow r^2=x.2r \Rightarrow x= \dfrac{r}{2}$ άρα $AT=\dfrac{r}{4}$

(Αλλιώς :Από θ.κ.δέσμης έχουμε $\dfrac{CB}{BD} = \dfrac{OA}{AT} \Rightarrow \dfrac{2r}{ \dfrac{r}{2} }= \dfrac{r}{AT} \Rightarrow AT= \dfrac{r}{4}$ )

$PT^2=TA.(TA+2r)= \dfrac{9r^2}{16} \Rightarrow (\dfrac{PT}{r})^2 =\dfrac{9}{16} \Rightarrow tan^2 \theta = \dfrac{9}{16} \Rightarrow tan \theta = \dfrac{3}{4}$

: τμήμα και εφαπτομένη.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2024 9:34 am
Τμήμα και εφαπτομένη.pngΠροεκτείνω την χορδή , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : και

φέρω το εφαπτόμενο τμήμα , το οποίο τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει της ακτίνας ) και την $\tan\theta$ .

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

και

η προβολή του

στην ευθεία

. Άμεσες συνέπειες : SP = SC = 2r

.

Το τετράπλευρο PDSO

είναι εγγράψιμο με ίσες διαγωνίους δηλαδή ισοσκελές τραπέζιο.

: Τμήμα κι εφαπτομένη_oritzin.png (25.54 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές

Θέτω $AT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP = y$ , θα έχω: $OT = TS \Rightarrow r + x = 2r - y \Leftrightarrow x + y = r\,\,\left( 1 \right)$ . Το Π. Θ. στο $\vartriangle POT$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει: $\boxed{4x = r}$ .

$\boxed{\tan \theta = \tan \omega = \frac{{TD}}{{DS}} = \frac{{3x}}{{4x}} = \frac{3}{4}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 15, 2024 9:34 am
Τμήμα και εφαπτομένη.pngΠροεκτείνω την χορδή , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κατά τμήμα : και

φέρω το εφαπτόμενο τμήμα , το οποίο τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει της ακτίνας ) και την $\tan\theta$ .

Είναι $AB=AS=r\sqrt 2$ και $\displaystyle S{P^2} = SA \cdot SB \Leftrightarrow SP = 2r.$ Εξάλλου με Π.Θ προκύπτει $OS=r\sqrt 5.$

: Τμήμα και εφαπτομένη.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο OBS,

$\displaystyle 8{r^2} = {r^2} + 5{r^2} - 2{r^2}\sqrt 5 \cos (90^\circ + \varphi ) = 6{r^2} + 2{r^2}\sqrt 5 \sin \varphi$

Άρα, $\displaystyle \sin \varphi = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{OP}}{{OS}} = \sin (P\widehat SO)$ κι επειδή είναι οξείες, $\displaystyle P\widehat SO = \varphi \Leftrightarrow OT = TS = r + x$

$\displaystyle PS= TS + PT \Leftrightarrow 2r = r + x + \sqrt {{x^2} + 2rx} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{r}{4}}$

$\displaystyle PT = \sqrt {\frac{{{r^2}}}{{16}} + \frac{{2{r^2}}}{4}} = \frac{{3r}}{4}$ και $\boxed{\tan \theta = \frac{{PT}}{{OP}} = \frac{3}{4}}$

Τμήμα και εφαπτομένη

Τμήμα και εφαπτομένη

Re: Τμήμα και εφαπτομένη

Re: Τμήμα και εφαπτομένη

Re: Τμήμα και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση