Σταθερά εφαπτόμενα τμήματα

#1

Έστω

το κέντρο ημικυκλίου διαμέτρου AB = 2R

. Ας είναι

εσωτερικό σημείο της ακτίνας

.

Θεωρούμε την ευθεία

, κάθετη στην $AB\,$ στο

. Σημείο

κινείται επί του ημικυκλίου . Οι $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM$ τέμνουν την

στα $P,\,T\,.\,$

: Σταθερά τμήματα_ εκφώνηση.png (14.31 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

α) Δείξετε ότι οι ευθείες , $PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT\,\,,\,\,$ τέμνονται σε σημείο , έστω

, πάνω στο ημικύκλιο.

β) Αν το

σταθερό και το

μεταβλητό , δείξετε ότι η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο , έστω

, επί πλέον δε

γ) δείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα, $CE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SF$ προς τον κύκλο $\left( {M,P,T} \right)$ , έχουν σταθερό μήκος το καθένα.

δ) Να βρείτε πως θα επιλέξουμε το σταθερό

πάνω στην

, ώστε $\dfrac{{SF}}{{CE}} = \dfrac{3}{2}$ .

#2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 28, 2024 8:50 am
Έστω το κέντρο ημικυκλίου διαμέτρου . Ας είναι εσωτερικό σημείο της ακτίνας .

Θεωρούμε την ευθεία , κάθετη στην $AB\,$ στο . Σημείο κινείται επί του ημικυκλίου . Οι $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM$ τέμνουν την στα $P,\,T\,.\,$
Σταθερά τμήματα_ εκφώνηση.png
α) Δείξετε ότι οι ευθείες , $PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT\,\,,\,\,$ τέμνονται σε σημείο , έστω , πάνω στο ημικύκλιο.

β) Αν το σταθερό και το μεταβλητό , δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο , έστω , επί πλέον δε

γ) δείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα, $CE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SF$ προς τον κύκλο $\left( {M,P,T} \right)$ , έχουν σταθερό μήκος το καθένα.

δ) Να βρείτε πως θα επιλέξουμε το σταθερό πάνω στην , ώστε $\dfrac{{SF}}{{CE}} = \dfrac{3}{2}$ .

α) Το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου PAB.

Άρα η

θα τέμνει την

σε σημείο

του ημικυκλίου.

β) . H

τέμνει την

στο

Θέτω

την ακτίνα του ημικυκλίου, το σταθερό τμήμα CD=d

και

Με $\rm Ceva$ στο PAB

και Μενέλαο στο ίδιο τρίγωνο με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {MKS}$ παίρνω διαδοχικά:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{PM}}{{MA}} \cdot \frac{{2r - d}}{d} \cdot \frac{{BK}}{{KP}} = 1 \hfill \\ \hfill \\ \frac{{PM}}{{MA}} \cdot \frac{{2r + x}}{x} \cdot \frac{{BK}}{{KP}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{2r - d}}{d} = \frac{{2r + x}}{x} \Leftrightarrow$ $\boxed{ x = \frac{{rd}}{{r - d}}}$ που είναι σταθερό.

: Σταθερά εφαπτόμενα τμήματα.png (26.78 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle CT \cdot TP = BT \cdot TM = {r^2} - O{T^2} \Leftrightarrow CT(CP - CT) = {r^2} - O{T^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle CT \cdot CP = {r^2} + C{T^2} - O{T^2} \Leftrightarrow C{E^2} = {r^2} - {(r - d)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{CE = \sqrt {d(2r - d)}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle S{F^2} = SB \cdot SA = \frac{{rd}}{{r - d}} \cdot \frac{{2{r^2} - rd}}{{r - d}} \Leftrightarrow$ $\boxed{ CF = \frac{r}{{r - d}}\sqrt {d(2r - d)}}$

δ) $\displaystyle \frac{{SF}}{{CE}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{r}{{r - d}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{ d = \frac{r}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 28, 2024 8:50 am
Έστω το κέντρο ημικυκλίου διαμέτρου . Ας είναι εσωτερικό σημείο της ακτίνας .

Θεωρούμε την ευθεία , κάθετη στην $AB\,$ στο . Σημείο κινείται επί του ημικυκλίου . Οι $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM$ τέμνουν την στα $P,\,T\,.\,$
Σταθερά τμήματα_ εκφώνηση.png
α) Δείξετε ότι οι ευθείες , $PB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AT\,\,,\,\,$ τέμνονται σε σημείο , έστω , πάνω στο ημικύκλιο.

β) Αν το σταθερό και το μεταβλητό , δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο , έστω , επί πλέον δε

γ) δείξετε ότι τα εφαπτόμενα τμήματα, $CE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SF$ προς τον κύκλο $\left( {M,P,T} \right)$ , έχουν σταθερό μήκος το καθένα.

δ) Να βρείτε πως θα επιλέξουμε το σταθερό πάνω στην , ώστε $\dfrac{{SF}}{{CE}} = \dfrac{3}{2}$ .

Έστω

σταθερό .Επειδή

ορθόκεντρο του APB

θα είναι $AT \bot PB$ .

Αλλά και $AK \bot PB$ άρα A,T,K

συνευθειακά

Αν θεωρήσουμε τον περίκυκλο (q)

του τριγώνου ABP

θα είναι

Ισχύει $EC^2=CT.CP=LC.CP=AC.CB=(2R-m)m \Rightarrow EC= \sqrt{(2R-m)m}$

Ο κύκλος (M,C,K)

είναι ο κύκλος Euler του τριγώνου APB

συνεπώς περνά από το κέντρο

του ημικυκλίου

Ισχύει SF^2=SK.SM=SB.SA=SC.SO=x(x+2R)=(x+m)(x+R)

απ όπου $x= \dfrac{mR}{R-m}$

Τώρα εύκολα $SF^2= \dfrac{mR^2(2R-m)}{(R-m)^2}$ και $\dfrac{SF^2}{CE^2}= \dfrac{9}{4} \Rightarrow \dfrac{R}{R-m} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow m= \dfrac{R}{3}$

: σταθερά εφαπτόμενα τμήματα.png (43.65 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

Σταθερά εφαπτόμενα τμήματα

Σταθερά εφαπτόμενα τμήματα

Re: Σταθερά εφαπτόμενα τμήματα

Re: Σταθερά εφαπτόμενα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση