Κάλυψη σκακιέρας
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Κάλυψη σκακιέρας
Είναι δυνατόν να καλύψουμε σκακιέρα με ίσο αριθμό ορθογωνίων και
(Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)
(Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κάλυψη σκακιέρας
Βάφουμε της στήλες εναλλάξ μια λευκή μια μαύρη τότε:
Κάθε σχήμα περιέχει μαύρα και λευκά τετράγωνα.
Κάθε οριζόντιοπεριέχει μαύρα και λευκά τετράγωνα.
Καθε κάθετο είναι μονόχρωμο.
Επειδή το πλήθος των μαύρων τετραγώνων είναι ίσο με τών λευκών θα πρέπει το πλήθος των κάθετων που βρίσκονται σε άρτιες στήλες να είναι με το πλήθος των κάθετων που βρίσκονται σε περιττές στήλες.
Οπότε το πλήθος των κάθετων είναι άρτιο.
Ομοίως βάφοντας εναλλάξ της σειρές έχουμε ότι και το πλήθος των οριζόντιων είναι άρτιο.
Άρα το πλήθος όλων των είναι άρτιο αδύνατο αφού ισούται με .
Κάθε σχήμα περιέχει μαύρα και λευκά τετράγωνα.
Κάθε οριζόντιοπεριέχει μαύρα και λευκά τετράγωνα.
Καθε κάθετο είναι μονόχρωμο.
Επειδή το πλήθος των μαύρων τετραγώνων είναι ίσο με τών λευκών θα πρέπει το πλήθος των κάθετων που βρίσκονται σε άρτιες στήλες να είναι με το πλήθος των κάθετων που βρίσκονται σε περιττές στήλες.
Οπότε το πλήθος των κάθετων είναι άρτιο.
Ομοίως βάφοντας εναλλάξ της σειρές έχουμε ότι και το πλήθος των οριζόντιων είναι άρτιο.
Άρα το πλήθος όλων των είναι άρτιο αδύνατο αφού ισούται με .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Κάλυψη σκακιέρας
Ωραία!
Διαφορετικά, μπορούμε να αριθμήσουμε τις γραμμές και τις στήλες και σε κάθε τετραγωνίδιο να αντιστοιχίσουμε το άθροισμα του αριθμού της γραμμής και του αριθμού της στήλης που βρίσκεται...
Διαφορετικά, μπορούμε να αριθμήσουμε τις γραμμές και τις στήλες και σε κάθε τετραγωνίδιο να αντιστοιχίσουμε το άθροισμα του αριθμού της γραμμής και του αριθμού της στήλης που βρίσκεται...
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Κάλυψη σκακιέρας
Να βρεθούν ολοι οι φυσηκοι αριθμοί που είναι τέτοιοι ώστε να είναι δυνατόν να καλύψουμε σκακιέρα με ίσο αριθμό ορθογωνίων και
(Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)
(Τα σχήματα μπορούν να περιστραφούν)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 27
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 13, 2022 4:08 pm
- Τοποθεσία: Περιστερι Αττικης
Re: Κάλυψη σκακιέρας
Έχει πλάκα πάντως το γεγονός ότι η άσκηση είναι καταχωρημένη σε φάκελο για juniors...
-
- Δημοσιεύσεις: 42
- Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm
Re: Κάλυψη σκακιέρας
Καλησπέρα και από μένα. Ας δούμε μια προσέγγιση για το αρχικό που βασίζεται στο ότι το πλήθος των ή πλακιδίων είναι περιττό.
Λύση:
Θεωρούμε μια (οποιαδήποτε) πρωταρχική όγδοη ρίζα της μονάδας (που ταυτίζεται με τις ρίζες του πολυωνύμου ).
Βάζουμε στο κελί με συντεταγμένες τον αριθμό .
Το άθροισμα όλων των αριθμών στη σκακιέρα είναι το οποίο από τη σχέση κάνει .
Αν υποθέσουμε ότι η σκακιέρα καλύπτεται με τον τρόπο που λέει η εκφώνηση, η συνεισφορά των πλακιδίων στο παραπάνω άθροισμα είναι μηδενική, ενώ κάθε ή πλακίδιο συνεισφέρει κατά όπου το άθροισμα των συντεταγμένων του πάνω αριστερά πλακιδίου του ορθογωνίου αυτού.
Έτσι (υπολογίζοντας βάσει του αθροίσματος των συνεισφορών των πλακιδίων) παίρνουμε την ισότητα όπου το άθροισμα στο δεξί μέλος είναι πάνω από περιττό αριθμό α/πλακιδίων λόγω της υπόθεσης.
Αυτή η σχέση γίνεται από όπου πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με και λόγω της προκύπτει .
Τώρα μπορούμε να κάνουμε ελεύθερα αναγωγές στους εκθέτες του αριστερού μέλους (διότι ) καθώς και μόνο που τότε κάθε αναγωγή συνοδεύεται από αλλαγή προσήμου. Έτσι καταλήγουμε σε σχέση της μορφής όπου τα στο δεξί μέλος είναι περιττά το πλήθος, δεν υπερβαίνουν το 4, και .
Αυτή η σχέση ισχύει για κάθε μια από τις 4 ρίζες του και επομένως ισχύει ταυτοτικά ως ισότητα πολυωνύμων.
Θέτοντας στα 2 μέλη, το ένα αριστερό μέλος είναι άρτιο και το δεξί περιττό, άτοπο.
Λύση:
Θεωρούμε μια (οποιαδήποτε) πρωταρχική όγδοη ρίζα της μονάδας (που ταυτίζεται με τις ρίζες του πολυωνύμου ).
Βάζουμε στο κελί με συντεταγμένες τον αριθμό .
Το άθροισμα όλων των αριθμών στη σκακιέρα είναι το οποίο από τη σχέση κάνει .
Αν υποθέσουμε ότι η σκακιέρα καλύπτεται με τον τρόπο που λέει η εκφώνηση, η συνεισφορά των πλακιδίων στο παραπάνω άθροισμα είναι μηδενική, ενώ κάθε ή πλακίδιο συνεισφέρει κατά όπου το άθροισμα των συντεταγμένων του πάνω αριστερά πλακιδίου του ορθογωνίου αυτού.
Έτσι (υπολογίζοντας βάσει του αθροίσματος των συνεισφορών των πλακιδίων) παίρνουμε την ισότητα όπου το άθροισμα στο δεξί μέλος είναι πάνω από περιττό αριθμό α/πλακιδίων λόγω της υπόθεσης.
Αυτή η σχέση γίνεται από όπου πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με και λόγω της προκύπτει .
Τώρα μπορούμε να κάνουμε ελεύθερα αναγωγές στους εκθέτες του αριστερού μέλους (διότι ) καθώς και μόνο που τότε κάθε αναγωγή συνοδεύεται από αλλαγή προσήμου. Έτσι καταλήγουμε σε σχέση της μορφής όπου τα στο δεξί μέλος είναι περιττά το πλήθος, δεν υπερβαίνουν το 4, και .
Αυτή η σχέση ισχύει για κάθε μια από τις 4 ρίζες του και επομένως ισχύει ταυτοτικά ως ισότητα πολυωνύμων.
Θέτοντας στα 2 μέλη, το ένα αριστερό μέλος είναι άρτιο και το δεξί περιττό, άτοπο.
Κωνσταντινίδης Κωνσταντίνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες