Ελάχιστος αριθμός διαφορετικών στοιχείων

#1

Οι θετικοί ακέραιοι $a_1,a_2,..., a_{2014}$ , όχι απαραίτητα διαφορετικοί, είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί

$\displaystyle{\frac{a_1}{a_2}, \frac{a_2}{a_3}, \frac{a_3}{a_4}, ..., \frac{a_{2013}}{a_{2014}}}$

να είναι διαφορετικοί ανά δύο.

Ποιο το ελάχιστο πλήθος διαφορετικών αριθμών ανάμεσα στους $a_1,a_2,..., a_{2014};$

#2

Επαναφορά!

vgreco · #3

Λάθος

#4

Η σωστή απάντηση είναι (νομίζω)

.

Αν έχουμε μόνο

διαφορετικούς αριθμούς τότε μπορούμε να δημιουργήσουμε το πολύ $45 \cdot 44$ διαφορετικά κλάσματα τα οποία να είναι όλα διάφορα του

. Συνολικά μπορούμε να δημιουργήσουμε το πολύ $45 \cdot 44 + 1 = 1981 < 2013$ διαφορετικά κλάσματα.

Θα δείξουμε τώρα ότι μπορούμε να έχουμε

διαφορετικούς αριθμούς. Ξεκινούμε με τους διαφορετικούς πρώτους $p_1,p_2,\ldots,p_{46}$ και παρατηρούμε ότι αν p_i/p_j = p_r/p_s

τότε

και

.

Θεωρούμε τώρα το πλήρες κατευθυνόμενο γράφημα στις κορυφές $x_1,x_2,\ldots,x_{46}$ . Είναι ισχυρά συνεκτικό και σε κάθε κορυφή ο βαθμός των εισερχομένων ακμών ισούται με τον βαθμό των εξερχομένων. Συνεπώς το γράφημα έχει ένα κύκλο Euler μήκους $46 \cdot 45 = 2070$ .

Έστω ένα μονοπάτι του μήκους 2013. Έστω το $x_{i_1}x_{i_2} \cdots x_{i_{2014}}$ . Αν τώρα θέσουμε $a_k = p_{i_k}$ για κάθε $k = 1, 2, \ldots, 2014$ , τότε όλα τα κλάσματα θα είναι διαφορετικά.

#5

Σωστά, Δημήτρη!

Ελάχιστος αριθμός διαφορετικών στοιχείων

Ελάχιστος αριθμός διαφορετικών στοιχείων

Re: Ελάχιστος αριθμός διαφορετικών στοιχείων

Re: Ελάχιστος αριθμός διαφορετικών στοιχείων

Re: Ελάχιστος αριθμός διαφορετικών στοιχείων

Re: Ελάχιστος αριθμός διαφορετικών στοιχείων

Μέλη σε σύνδεση