Ανισότητα

JimNt. · #1

Αν

θετικοί αριθμοί με άθροισμα

να αποδείξετε την ανισότητα:

$\sqrt{(a^2+b^2+c^2+9)6} \ge \sum{(a+b)\sqrt{a+b}}$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;
(Άλλαξα την εκφώνηση μετά από προτροπή του κου Ρίζου, τον οποιο και ευχαριστώ.)

#2

JimNt. έγραψε:Αν πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε την ανισότητα:

$\sqrt{3\sum{(a+b)^3}} \ge \sum{(a+b)\sqrt{a+b}}$ .

Πότε ισχύει η ισότητα;

Καλημέρα. Σίγουρα είναι σωστή η εκφώνηση;

Οι a, b, c

είναι σταθεροί αριθμοί (τι νόημα έχει το $\sum$ ; ) ή όροι ακολουθίας;
To

πού είναι;
Μήπως πρέπει να είναι θετικοί;

JimNt. · #3

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
JimNt. έγραψε:Αν πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε την ανισότητα:

$\sqrt{3\sum{(a+b)^3}} \ge \sum{(a+b)\sqrt{a+b}}$ .

Πότε ισχύει η ισότητα;

Καλημέρα. Σίγουρα είναι σωστή η εκφώνηση;

Οι είναι σταθεροί αριθμοί (τι νόημα έχει το $\sum$ ; ) ή όροι ακολουθίας;
To πού είναι;
Μήπως πρέπει να είναι θετικοί;

Ναι σωστά. Ευχαριστώ.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

JimNt. έγραψε:Αν πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε την ανισότητα:

$\sqrt{3\sum{(a+b)^3}} \ge \sum{(a+b)\sqrt{a+b}}$ .

Θα αποδείξουμε ότι: $\sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Πράγματι από την ανισότητα των δυνάμεων προκύπτει ότι:

$\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}\right)^2\leq \dfrac{x+y+z}{3}$ $\Leftrightarrow \sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Συνεπώς $\sqrt{3\sum{(a+b)^3}} \geq \sum{\sqrt{(a+b)^3}=\sum{(a+b)\sqrt{a+b}}$

Υ.Γ. Μόλις είδα την αλλαγή της άσκησης! Τελικά ισχύει το παραπάνω;

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

JimNt. έγραψε:Αν θετικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:

$\sqrt{(a^2+b^2+c^2+9)6} \ge \sum{(a+b)\sqrt{a+b}}$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;

To αριστερό μέλος της ανισότητας γίνεται:

$\sqrt{(a^2+b^2+c^2+9)6}=\sqrt{[a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2][2(a+b+c)]}$ $=\sqrt{[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2][(a+b)+(b+c)+(c+a)]}$

Όμως από την ανισότητα Holder

, προκύπτει ότι:

$[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]^{\frac{1}{2}}[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^{\frac{1}{2}}$ $\geq (a+b)\sqrt{a+b}+(b+c)\sqrt{b+c}+(c+a)\sqrt{c+a}$

που είναι το ζητούμενο.

JimNt. · #6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
JimNt. έγραψε:Αν θετικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:

$\sqrt{(a^2+b^2+c^2+9)6} \ge \sum{(a+b)\sqrt{a+b}}$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;
To αριστερό μέλος της ανισότητας γίνεται:

$\sqrt{(a^2+b^2+c^2+9)6}=\sqrt{[a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2][2(a+b+c)]}$ $=\sqrt{[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2][(a+b)+(b+c)+(c+a)]}$

Όμως από την ανισότητα , προκύπτει ότι:

$[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]^{\frac{1}{2}}[(a+b)+(b+c)+(c+a)]^{\frac{1}{2}}$ $\geq (a+b)\sqrt{a+b}+(b+c)\sqrt{b+c}+(c+a)\sqrt{c+a}$

που είναι το ζητούμενο.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση