Άθροισμα κύβων

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΟ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 13, 2023 1:14 am
Έστω $a,\,\,b,\,\,c\in \mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\,\,\,$ . Αν $\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{b}{c}+\displaystyle\frac{c}{a}=4\,\,\,$ και $\displaystyle\frac{a}{c}+\displaystyle\frac{c}{b}+\displaystyle\frac{b}{a}=5\,\,\,$ , να βρεθεί η

τιμή της παράστασης: $\displaystyle\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}}+\displaystyle\frac{{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}}+\displaystyle\frac{{{c}^{3}}}{{{a}^{3}}}.$

Θα χρησιμοποιήσω τις ταυτότητες $\displaystyle {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx)$

και $\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} = {(x + y + z)^2} - 2(xy + yz + zx).$ Έτσι έχω:

$\displaystyle \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3}}} - 3 = \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)}^2} - 3\left( {\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{b}} \right)} \right]$

Άρα, $\displaystyle \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^3}}} = 3 + 4(16 - 15) = 7$

Άθροισμα κύβων

Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Μέλη σε σύνδεση