Μέγιστο στους φυσικούς

#1

Αν $a,b,c \in \mathbb N^*$ με a+b+c=100

, να βρεθεί η μέγιστη τιμή τoυ ab+bc+ca

.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 06, 2023 10:29 pm
Αν $a,b,c \in \mathbb N^*$ με , να βρεθεί η μέγιστη τιμή τoυ .

Είναι $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 \geq ab+ac+bc \Rightarrow (a+b+c)^2 -2(ab+ac+bc)\geq ab+ac+bc\Rightarrow}$

$\displaystyle{(a+b+c)^2 \geq 3(ab+ac+bc)\Rightarrow ab+ac+bc \leq \frac{10000}{3}}$ , με την ισότητα να επιτυγχάνεται

όταν $\displaystyle{a=b=c=\frac{100}{3}}$ .

Άρα η μέγιστη τιμή είναι ο $\displaystyle{\frac{10000}{3}}$

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 06, 2023 11:17 pm

$\displaystyle{a=b=c=\frac{100}{3}}$ .

Δημήτρη, δεν θα πρόσεξες ότι σύμφωνα με την εκφώνηση, τα a,b,c

πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί. Οπότε η λύση έχει πρόβλημα.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 07, 2023 12:46 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 06, 2023 11:17 pm

$\displaystyle{a=b=c=\frac{100}{3}}$ .

Δημήτρη, δεν θα πρόσεξες ότι σύμφωνα με την εκφώνηση, τα πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί. Οπότε η λύση έχει πρόβλημα.

Ναι Μιχάλη. Δεν πρόσεξα ότι είμαστε στους φυσικούς.
Θα το ξαναδώ

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 06, 2023 11:17 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 06, 2023 10:29 pm
Αν $a,b,c \in \mathbb N^*$ με , να βρεθεί η μέγιστη τιμή τoυ .
Είναι $\displaystyle{a^2 +b^2 +c^2 \geq ab+ac+bc \Rightarrow (a+b+c)^2 -2(ab+ac+bc)\geq ab+ac+bc\Rightarrow}$

$\displaystyle{(a+b+c)^2 \geq 3(ab+ac+bc)\Rightarrow ab+ac+bc \leq \frac{10000}{3}}$ , με την ισότητα να επιτυγχάνεται

όταν $\displaystyle{a=b=c=\frac{100}{3}}$ .

Άρα η μέγιστη τιμή είναι ο $\displaystyle{\frac{10000}{3}}$

Όμως από την υπόθεση, έχουμε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c}$ είναι φυσικοί. Άρα και ο αριθμός $\displaystyle{ab+bc+ca}$ είναι φυσικός

Αφού $\displaystyle{\frac{10000}{3}=3333,33...}$ ο αμέσως προηγούμενος φυσικός είναι ο $\displaystyle{3333}$ , ο οποίος επιτυγχάνεται

όταν ένας από τους $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ο $\displaystyle{34}$ και οι άλλοι δύο είναι από $\displaystyle{33}$ ο καθένας.

Άρα η ζητούμενη μέγιστη τιμή είναι ο $\displaystyle{3333}$

ΣΗΜ: Συμπλήρωσα την λύση, μιας και αρχικά δεν είχα παρατηρήσει ότι τα $\displaystyle{a,b,c}$ πρέπει να είναι φυσικοί, όπως με ειδοποίησε
ο Μιχάλης

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 06, 2023 10:29 pm
Αν $a,b,c \in \mathbb N^*$ με , να βρεθεί η μέγιστη τιμή τoυ .

Εκτός από τον προηγούμενο ωραίο τρόπο έχω κατά νου και άλλους δύο. Γράφω τον έναν από τους δύο γιατί δεν απαιτεί την $(a+b+c)^2\ge ab+bc+ca$ , και την προορίζω για μαθητές της Α' Γυμνασίου.

Χωρίς βλάβη $a\ge b \ge c$ . Υποχρεωτικά θα είναι $a\ge 34$ γιατί αν είχαμε $a\le 33$ θα παίρναμε $100 = a+b+c \le 3a \le 99$ , άτοπο. Επίσης υποχρεωτικά θα είναι $c \le 33$ γιατί αν είχαμε $c \ge 34$ θα παίρναμε $100 = a+b+c \ge 3c \ge 102$ , άτοπο. Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε ότι

$a=34+x,\, c=33-y$ όπου $x,y \ge 0$ , οπότε και b=100-a-c= 33-x+y

. Άρα

$ab+bc+ca= ... = 34\cdot 33+34\cdot 33+33\cdot 33-x-xy -(x-y)^2 \le 34\cdot 33+34\cdot 33+33\cdot 33$ με ισότητα αν x=y=0

.

Με άλλα λόγια το μέγιστο λαμβάνεται όταν $a=34+0= 34, \, c=33-0=33 , \, b= 33-0+0=33$ και η τιμή του είναι $34\cdot 33+34\cdot 33+33\cdot 33= 3333$ .

KARKAR · #7

Δείτε μια άσκηση , που μοιάζει κάπως , εδώ .

Μέγιστο στους φυσικούς

Μέγιστο στους φυσικούς

Re: Μέγιστο στους φυσικούς

Re: Μέγιστο στους φυσικούς

Re: Μέγιστο στους φυσικούς

Re: Μέγιστο στους φυσικούς

Re: Μέγιστο στους φυσικούς

Re: Μέγιστο στους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση