ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#81

ΧΡΗΣΤΟΣ ΡΑΠΤΗΣ έγραψε:Γεια σας και απο εμενα. Παρακολουθω μερες τωρα την προσπαθεια σας αλλα δεν μπορουσα να συμμετεχω λογω υποχρεωσεων. Θα ηθελα κι εγω να στειλω καποιες λυσεις ομως δεν το εχω με την LaTex. Θα μπορουσα να στειλω σε καποιον αρχειο .docx ή (περισσοτερο ευκολο για μενα) σκαναρισμενο χειρογραφο.

Και μια βοηθεια για οποιον εχει λιγο χρονο : Εχω κολλησει στην 3708 στο (β) ερωτημα. Οποιος μπορει ας στειλει μια υποδειξη (ή και λυση...)

Υ.Γ. : Οι 3708 και 3709 ειναι ιδιες. Επισης στην 3711 το ερωτημα α.iii. θα επρεπε να προηγειται του α.ii.

Αν

είναι το μέσο του

και

το μέσο του

, τότε το

είναι ορθογώνιο. Άρα AD=2KN=KL

, διότι το τρίγωνο NKL

είναι ορθογώνιο.

Βλέπω και άλλη λύση, αλλά για την ώρα καλή είναι και αυτή . Νομίζω επίσης ότι το μέσο Μ μπορούμε και να μην το πάρουμε. Μας αρκεί που το τρίγωνο NKL

είναι ορθογώνιο και ότι η γωνία NLK

είναι ίση με την γωνία C=30^0

Μπάμπης

#82

ΧΡΗΣΤΟΣ ΡΑΠΤΗΣ έγραψε: Και μια βοηθεια για οποιον εχει λιγο χρονο : Εχω κολλησει στην 3708 στο (β) ερωτημα. Οποιος μπορει ας στειλει μια υποδειξη (ή και λυση...)

Παρατήρησε ότι λόγω των 30^0

, είναι $\Delta\Gamma=2\Delta E$ .
Από αυτή τη σχέση, το προηγούμενο ερώτημα και το τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου, βγαίνει απλά.

Christos.N · #83

4645

Στο παρακάτω τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ ισχύουν: ${\rm A}\Delta = {\rm }\Gamma$ , ${\rm A}\Gamma = {\rm B}\Delta$ , και ${\rm A}{\rm B} < \Gamma \Delta$ .

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm O}{\rm B}$ και $\Delta {\rm O}\Gamma$ είναι ισοσκελή. (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)
γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι $\Gamma \Delta = 3{\rm A}{\rm B}$ και ${\rm K},\Lambda$ τα μέσα των διαγωνίων ${\rm B}\Delta$ και ${\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Lambda {\rm K}$ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)

: Καταγραφή.PNG (6.45 KiB) Προβλήθηκε 3191 φορές

Απαντήσεις:
α)
Τα τρίγωνα ${\rm A}\Delta \Gamma$ και $\Delta {\rm B}\Gamma$ είναι ίσα μεταξύ τους καθώς έχουν τρείς πλευρές ίσες. Τις ${\rm A}\Delta = {\rm B}\Gamma$ , ${\rm A}\Gamma = {\rm B}\Delta$ και την πλευρά $\Delta \Gamma$ κοινή.
Συνεπώς έχουμε:
$\angle {\rm B}\Delta \Gamma = \angle {\rm A}\Gamma \Delta$ , άρα το τρίγωνο $\Delta {\rm O}\Gamma$ είναι ισοσκελές.
Τα τρίγωνα ${\rm A}\Delta {\rm B}$ και ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ίσα μεταξύ τους καθώς έχουν τρείς πλευρές ίσες. Τις ${\rm A}\Delta = {\rm B}\Gamma$ , ${\rm A}\Gamma = {\rm B}\Delta$ και την πλευρά ${\rm A}{\rm B}$
κοινή.
Συνεπώς έχουμε:
$\angle {\rm B}{\rm A}\Gamma = \angle {\rm A}{\rm B}\Delta$ , άρα το τρίγωνο ${\rm}{\rm O}{\rm B}$ είναι ισοσκελές.
β)
Οι γωνίες ${\rm A}{\rm O}{\rm B}$ και $\Delta {\rm O}\Gamma$ είναι ίσες ως κατακορυφήν , τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm O}{\rm B}$ και $\Delta {\rm O}\Gamma$ στα οποία περιέχονται είναι ισοσκελή, άρα οι γωνίες των βάσεων τους είναι ίσες. Συνεπώς $\angle {\rm B}{\rm A}{\rm O} = \angle {\rm O}\Gamma \Delta$ το οποίο σημαίνει ότι οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες άρα ${\rm A}{\rm B}//\Delta \Gamma$ και το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.
γ)
Γνωρίζουμε ότι η διάμεσος του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα ${\rm K},\Lambda$ των διαγωνίων του είναι παράλληλη με τις βάσεις του και ότι ${\rm K}\Lambda = \frac{{\Delta \Gamma - {\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{{3{\rm A}{\rm B} - {\rm A}{\rm B}}}{2} = {\rm A}{\rm B}$
. Άρα το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Lambda {\rm K}$ είναι παραλληλόγραμμο. Συγκρίνοντας τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm O}{\rm B}$ και ${\rm K}{\rm O}\Lambda$ διαπιστώνουμε ότι είναι ίσα καθώς ${\rm A}{\rm B} = {\rm K}\Lambda$ , $\angle {\rm B}{\rm A}{\rm O} = \angle {\rm O}\Lambda {\rm K}$
και $\angle {\rm B}{\rm O}{\rm A} = \angle {\rm O}{\rm K}\Lambda$ ως εντός εναλλάξ, είναι ισοσκελή άρα οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου είναι ίσες συνεπώς το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΡΑΠΤΗΣ · #84

Σας ευχαριστω λους για την βοηθεια και τις υποδειξεις.

#85

Άσκηση 4646

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma (A=90^0)$ και $\Gamma=30^0$ με M,N

τα μέσα των πλευρών $B\Gamma$ και

αντίστοιχα. Έστω ότι η μεσοκάθετος της $B\Gamma$ τέμνει την $A\Gamma$ στο σημείο

.

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Η

είναι διχοτόμος της γωνίας Β. (Μονάδες

)

ii) $\displaystyle{{\rm A}{\rm E} = \frac{{\Gamma {\rm E}}}{2}}$ (Μονάδες

)

iii) Η

είναι μεσοκάθετος της διαμέσου

. (Μονάδες

)

β) Αν $A\Delta$ είναι το ύψος του τριγώνου $AB\Gamma$ που τέμνει τη

στο

, να αποδείξετε ότι τα σημεία M, H

και

είναι συνευθειακά. (Μονάδες

)

Λύση:

α) i) $\displaystyle{\widehat {\rm B} = {60^0}}$ . Το τρίγωνο $EB\Gamma$ είναι ισοσκελές επειδή η

είναι μεσοκάθετος της $B\Gamma$ . Άρα:

$\displaystyle{{\rm E}\widehat \Gamma {\rm B} = {\rm E}\widehat {\rm B}\Gamma = {\rm E}\widehat {\rm B}{\rm A} = {30^0}}$

ii) Επειδή το

είναι σημείο της διχοτόμου

της γωνίας

θα ισαπέχει από τις πλευρές της, οπότε: AE=EM

.

Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο $EM\Gamma$ έχουμε: $\displaystyle{\widehat \Gamma = {30^0} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm M} = \frac{{{\rm E}\Gamma }}{2}}$ .

Οπότε: $\boxed{{\rm A}{\rm E} = \frac{{{\rm E}\Gamma }}{2}}$

: 4_4646.1.png (12.2 KiB) Προβλήθηκε 3179 φορές

iii)

(η διάμεσος

είναι το μισό της υποτείνουσας $B\Gamma$ ). Άρα στο ισοσκελές τρίγωνο BAM

, η

που διχοτομεί τη γωνία

θα είναι μεσοκάθετος της

.

β) Έστω ότι η

τέμνει την

στο

. $A\Delta, BK$ είναι ύψη του τριγώνου BAM

, άρα

είναι το ορθόκεντρο. Αρκεί να δείξουμε ότι

είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου.

Πράγματι, $MN||A\Gamma$ (ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου) κι επειδή

$\displaystyle{\widehat {\rm A} = {90^0} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\rm M}{\rm N} \bot {\rm A}{\rm B}}$

: 4_4646.2.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 3179 φορές

gavrilos · #86

Θέμα 4648

Από εξωτερικό σημείο $\displaystyle{P}$ ενός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $\displaystyle{PA,PB}$ και τη διακεντρική ευθεία $\displaystyle{PO}$ που τέμνει τον κύκλο στα $\displaystyle{\Delta ,\Gamma}$ αντίστοιχα.Η εφαπτομένη του κύκλου στο $\displaystyle{\Gamma}$ τέμνει τις προεκτάσεις των $\displaystyle{PA,PB}$ στα $\displaystyle{E,Z}$ αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι:

i) $\displaystyle{\hat{\Delta AP}=\hat{\Delta BP}}$
ii) $\displaystyle{EA=ZB}$
iii)Το τετράπλευρο $\displaystyle{ABZE}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

: Γεωμετρια mathematica_52.PNG (10.34 KiB) Προβλήθηκε 3215 φορές

i)Συγκρίνουμε αρχικά τα τρίγωνα $\displaystyle{\triangle{AOP}}$ και $\displaystyle{\triangle{BOP}}$ .

Αυτά είναι ορθογώνια και επιπλέον έχουν $\displaystyle{PA=PB}$ ως εφαπτόμενα τμήματα και $\displaystyle{OP}$ κοινή άρα είναι ίσα.Επομένως $\displaystyle{\hat{APO}=\hat{BPO}}$ .

Θα συγκρίνουμε τώρα τα τρίγωνα $\displaystyle{\triangle{AP\Delta}}$ και $\displaystyle{BP\Delta}}$ .Αυτά έχουν $\displaystyle{PA=PB}$ ,την $\displaystyle{P\Delta }$ κοινή και όπως δείξαμε στην προηγούμενη σύγκριση $\displaystyle{\hat{AP\Delta}=\hat{BP\Delta}}$ επομένως από Π-Γ-Π είναι ίσα κι έτσι $\dislaystyle{\hat{\Delta AP}=\hat{\Delta PB}}$ .

ii)Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{PA=PB}$ .Επίσης η $\displaystyle{P\Delta}$ που περνά και από τα $\displaystyle{O,\Gamma}$ είναι κάθετη στην $\displaystyle{EZ}$ επειδή η τελευταία είναι εφαπτόμενη του κύκλου στο $\displaystyle{\Gamma}$ και η $\displaystyle{P\Gamma}$ ταυτίζεται με την ακτίνα $\displaystyle{O\Gamma}$ στο τμήμα αυτό.

Όμως η $\displaystyle{P\Gamma}$ είναι και διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\hat{EPZ}}$ όπως δείξαμε παραπάνω άρα το τρίγωνο $\displaystyle{EPZ}$ είναι ισοσκελές κι έτσι $\displaystyle{EP=ZP}$ .Αφαιρώντας κατά μέλη με την $\displaystyle{PA=PB}$ προκύπτει $\displaystyle{EA=ZB}$ .

iii)Οι $\displaystyle{EA,ZB}$ δεν είναι παράλληλες αφού τέμνονται στο $\displaystyle{P}$ .

Ακόμη τα τρίγωνα $\displaystyle{\triangle{ABP}}$ και $\displaystyle{EPZ}$ είναι ισοσκελή όπως έχουμε δείξει,με κοινή γωνία κορυφής άρα και οι άλλες δύο γωνίες τους θα είναι ίσες.

Επομένως για παράδειγμα $\displaystyle{\hat{ABP}=\hat{EZP}}$ κι επειδή αυτές οι δύο είναι εντός-εκτός και επί τα αυτά,οι ευθείες $\displaystyle{AB,EZ}$ θα είναι παράλληλες.

Ακόμη όπως δείξαμε στο ii) ισχύει $\displaystyle{EA=ZB}$ άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{ABZE}$ είναι όντως ισοσκελές τραπέζιο.

#87

4649

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm A}{\rm B}\Gamma }}\,\,}$ με $\displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Gamma }}\,\,\,}$ και η διχοτόμος $\displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm B}{\rm E}}}\,\,\,}$ της γωνίας $\displaystyle{\,\,\widehatB\,\,}$ .
Αν $\displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm A}{\rm Z}}} \bot {\rm{{\rm B}{\rm E}}}\,\,\,}$ όπου $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm Z}\,\,\,}$ σημείο της $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Gamma \,\,\,}$ και $\displaystyle{\,\,\,{\rm M}\,\,\,\,}$ το μέσον της $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}\Gamma \,\,\,}$ , να αποδείξετε ότι :
α) Το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}{\rm Z}\,\,\,}$ είναι ισοσκελές . (Μονάδες 7)

β) $\displaystyle{\,\,\,\Delta {\rm M}//{\rm B}\Gamma \,\,}$ και $\displaystyle{\,\,\,\Delta {\rm M} = \frac{{{\rm B }\Gamma - {\rm A}{\rm B}}}{2}\,\,\,}$ (Μονάδες 10)

γ) $\displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm E}\Delta {\rm M}} = \frac{{\widehat{\rm B}}}{2}\,\,}$ όπου $\displaystyle{\,\,\,\widehat{\rm B}\,\,}$ η γωνία του τριγώνου $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,\,\,}$ . (Μονάδες 8)

Λύση

α) Το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}{\rm Z}\,\,\,}$ είναι ισοσκελές , αφού η $\displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm B}{\rm E}}}\,\,\,}$ είναι διχοτόμος και ύψος της γωνίας $\displaystyle{\,\,\widehatB\,\,}$ .

β) Στο τρίγωνο $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm Z}\Gamma \,\,}$ τα $\displaystyle{\,\,\Delta ,{\rm M}\,\,\,\,\,}$ είναι τα μέσα δυο πλευρών , οπότε $\displaystyle{\,\,\,\,\Delta {\rm M}//{\rm Z}\Gamma \Rightarrow \Delta {\rm M}//{\rm B}\Gamma }$ .
Ακόμα : $\displaystyle{\,\,\,\Delta {\rm M} = \frac{{{\rm Z}\Gamma }}{2} = \frac{{{\rm B}\Gamma - {\rm B}{\rm Z}}}{2} = \frac{{{\rm B}\Gamma - {\rm A}{\rm B}}}{2}\,\,}$ , αφού από το (α) ισχύει $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B} = {\rm B}{\rm Z}\,\,\,}$ .

γ) $\displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm E}\Delta {\rm M}} = {\widehat{\rm B}_2} = \frac{{\widehat{\rm B}}}{2}\,\,\,}$ , ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων $\displaystyle{\,\,\,\Delta {\rm M}//{\rm B}\Gamma \,\,\,}$ , τεμνομένων υπό της
$\displaystyle{\,\,\,{\rm B}{\rm E}\,\,\,}$ !!

Σχόλιο : Η άσκηση είναι από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας (αποδεικτική 5 σελ 111 )

gavrilos · #88

Θέμα 4650.

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ η διχοτόμος $\displaystyle{Bx}$ της γωνίας $\displaystyle{\angle{B}}$ και η διχοτόμος $\displaystyle{By}$ της εξωτερικής γωνίας $\displaystyle{\angle{B}}$ .Αν $\displaystyle{\Delta ,E}$ οι προβολές της κορυφής $\displaystyle{A}$ στις $\displaystyle{Bx,By}$ αντίστοιχα,να αποδειχθεί ότι:
i)Το τετράπλευρο $\displaystyle{A\Delta BE}$ είναι ορθογώνιο,
ii)H ευθεία $\displaystyle{E\Delta}$ είναι παράλληλη προς τη $\displaystyle{B\Gamma}$ και διέρχεται από το μέσο $\displaystyle{M}$ της $\displaystyle{A\Gamma}$ ,
iii)Το τετράπλευρο $\displaystyle{KM\Gamma B}$ είναι τραπέζιο του οποίου η διάμεσος ισούται με $\displaystyle{\frac{3a}{4}}$ όπου $\displaystyle{a=B\Gamma}$ .

: Γεωμετρια mathematica_53.PNG (10.06 KiB) Προβλήθηκε 3178 φορές

i)Οι γωνίες $\displaystyle{\angle{B}}$ και $\displaystyle{\angle{B_{\epsilon \xi}}}$ είναι εφεξής και παραπληρωματικές άρα οι διχοτόμοι τους σχηματίζουν ορθή γωνία.Ακόμη $\displaystyle{\angle{A\Delta B}=\angle{AEB}=90^{\circ}}$ επειδή οι $\displaystyle{E,\Delta}$ είναι προβολές του σημείου $\displaystyle{A}$ πάνω στις ημιευθείες.Τελικά το τετράπλευρο $\displaystyle{A\Delta BE}$ έχει τρεις ορθές γωνίες άρα είναι ορθογώνιο.

ii)Ισχύουν $\displaystyle{E\Delta =AB}$ ως διαγώνιοι ορθογωνίου.Ξέρουμε πως αυτές διχοτομούνται άρα $\displaystyle{EK=\frac{E\Delta}{2}}$ και $\displaystyle{BK=\frac{AB}{2}}$ άρα $\displaystyle{EK=BK}$ κι έτσι το τρίγωνο $\displaystyle{\triangle{BKE}}$ είναι ισοσκελές.

Επομένως $\displaystyle{\angle{EBK}=\angle{BEK}=\frac{\angle{B_{\epsilon \xi}}}{2}=\angle{EBz}}$ .

Άρα $\displaystyle{\angle{EBK}=\angle{EBz}}$ κι επειδή οι γωνίες αυτές είναι εντός εναλλάξ των ευθειών $\displaystyle{B\Gamma ,E\Delta}$ άρα $\displaystyle{E\Delta \parallel B\Gamma}$ .

Επιπλέον η $\displaystyle{E\Delta}$ περνά από το μέσο της $\displaystyle{AB}$ αφού τα δύο αυτά τμήματα είναι διαγώνιοι παραλληλογράμμου..

Η $\displaystyle{E\Delta }$ είναι παράλληλη μίας πλευράς λοιπόν που περνά από το μέσο της άλλης άρα θα περνά από το μέσο και της τρίτης πλευράς το οποίο είναι το σημείο $\displaystyle{M}$ .

iii)Έχουμε δείξει ότι $\displaystyle{E\Delta \parallel B\Gamma}$ κι επιπλέον οι $\displaystyle{BK\M\Gamma}$ δεν είναι παράλληλες αφού τέμνονται στο $\displaystyle{A}$ .

Άρα το $\displaystyle{KMB\Gamma}$ είναι τραπέζιο.Η διάμεσός του είναι ίση με $\displaystyle{\frac{B\Gamma +KM}{2}}$ .Όμως η $\displaystyle{KM}$ συνδέει μέσα πλευρών άρα θα είναι ίση με $\displaystyle{\frac{B\Gamma}{2}}$ .

Τελικά η διάμεσος του τραπεζίου ισούται με $\displaystyle{\frac{B\Gamma +\frac{B\Gamma}{2}}{2}=\frac{3B\Gamma}{4}=\frac{3a}{4}}$ όπως θέλαμε.

gavrilos · #89

Ετοιμάζω την 4651.

Σε παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ δίνονται σημεία $\displaystyle{E.Z,H,Theta}$ στις πλευρές $\displaystyle{AB,B\Gamma ,\Gamma \Delta ,\Delta A}$ ώστε $\displaystyle{AE=\Gamma H}$ και $\displaystyle{BZ=\Delta \Theta}$ .

Να αποδείξετε ότι:

i)Το τετράπλευρο $\displaystyle{AE\Gamma H}$ είναι παραλληλόγραμμο,
ii)Το τετράπλευρο $\displaystyle{EZH\Theta}$ είναι παραλληλόγραμμο,
iii)Τα τμήματα $\displaystyle{A\Gamma ,B\Delta ,EH,Z\Theta}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

: Γεωμετρια mathematica_54.PNG (9.54 KiB) Προβλήθηκε 2872 φορές

i)Από το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ παίρνουμε $\displaystyle{AB\parallel \Gamma \Delta \Leftrightarrow AE\parallel \Gamma H}$ αφού τα σημεία $\displaystyle{E,H}$ βρίσκονται πάνω στα τμήματα $\displaystyle{AB,\Gamma \Delta}$ .

Ακόμη $\displaystyle{AE=\Gamma H}$ επομένως $\displaystyle{AE=\parallel \Gamma H}$ κι έτσι το τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta }$ είναι παραλληλόγραμμο.

ii)Αφού $\displaystyle{A\Delta =B\Gamma}$ και $\displaystyle{BZ=\Delta \Theta}$ με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει $\displaystyle{A\Theta =\Gamma Z}$ .

Ομοίως $\displaystyle{EB=\Delta H}$ .

Τα τρίγωνα $\displaystyle{\triangle{AE\Theta}}$ και $\displaystyle{\Gamma HZ}$ έχουν $\displaystyle{A\Theta =\Gamma}$ και $\displaystyle{\Gamma H=AE}$ .

Ακόμη οι γωνίες τους $\displaystyle{\angle{H\Gamma Z}}$ και $\displaystyle{EA\Theta}$ είναι ίσες ως απέναντι παραλληλογράμμου.Επομένως τα δύο τρίγωνα αυτά είναι ίσα από Π-Γ-Π.Ομοίως είναι ίσα τα τρίγωνα $\displaystyle{\triangle{\Delta H\Theta}}$ και $\displaystyle{\triangle{BEZ}}$ .Από τις δύο αυτές ισότητες λαμβάνουμε $\displaystyle{\angle{\Gamma HZ}=\angle{AE\Theta}}$ και $\displaystyle{\angle{\Delta H\Theta}=\angle{BEZ}}$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε $\displaystyle{\angle{\Gamma HZ}+\angle{\Delta H\Theta}=\angle{AE\Theta}+\angle{BEZ}}$ .Όμως $\displaystyle{\angle{\Gamma HZ}+\angle{\Delta H\Theta}=180-\angle{\Theta HZ}}$ και $\displaystyle{\angle{AE\Theta}+\angle{BEZ}=180-\angle{\Theta EZ}}$ .Επομένως $\displaystyle{180-\angle{\Theta HZ}=180-\angle{\Theta EZ}\Leftrightarrow \angle{\Theta HZ}=\angle{\Theta EZ}}$ .
Ομοίως $\displaystyle{\angle{E\Theta H}=\angle{ZE\Theta}}$ .Άρα οι απέναντι γωνίες του τετραπλεύρου $\displaystyle{EZH\Theta}$ είναι ίσες έτσι αυτό είναι παραλληλόγραμμο.

iii)Από τα τρία παραλληλόγραμμα που υπάρχουν στο σχήμα λαμβάνουμε:

Η $\displaystyle{B\Delta}$ περνά από το μέσο της $\displaystyle{A\Gamma}$ και μάλιστα το σημείο τομής αυτών των δύο είναι και μέσο της $\displaystyle{B\Delta}$ ,
Η $\displaystyle{EH}$ περνά από το μέσο της $\displaystyle{A\Gamma}$ και μάλιστα το σημείο τομής των δύο αυτών είναι και μέσο της $\displaystyle{EH}$ .
Η $\displaystyle{Z\Theta}$ περνά από το μέσο της $\displaystyle{EH}$ άρα και από το μέσο της $\displaystyle{A\Gamma}$ .

Άρα όλες περνούν από το ίδιο σημείο που είναι το μέσο της $\displaystyle{A\Gamma}$ .

Υ.Γ. Αν βρεθούν λάθη ας μου το επισημάνει κάποιος.
Υ.Γ.2 Μπορεί και να υπάρχει συντομότερος τρόπος για το ii).

Edit:Σχήμα.Χίλια συγνώμη κύριε Τσιφάκη.

hlkampel · #90

Άσκηση 4652

Δίνεται παραλληλόγραμμο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και σημεία ${\rm K},\Lambda$ της διαγωνίου του ${\rm B}\Delta$ , τέτοια ώστε να ισχύει ${\rm B}{\rm K} = {\rm K}\Lambda = \Lambda \Delta$ .

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm K}\Gamma \Lambda$ είναι παραλληλόγραμμο.

β) Να αποδείξετε ότι, αν το αρχικό παραλληλόγραμμο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι ρόμβος, τότε και το ${\rm A}{\rm K}\Gamma \Lambda$ είναι ρόμβος.

γ) Ποια πρέπει να είναι η σχέση των διαγωνίων του αρχικού παραλληλογράμμου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ ώστε το ${\rm A}{\rm K}\Gamma \Lambda$ να είναι ορθογώνιο.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση

α) Αν Ο είναι το κέντρο του ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ τότε ${\rm O}{\rm B} = {\rm O}\Delta \;\left( 1 \right)$
${\rm O}{\rm K} = {\rm O}{\rm B} - {\rm B}{\rm K}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\upsilon \pi o\vartheta .} {\rm O}{\rm K} = {\rm O}\Delta - \Lambda \Delta \Rightarrow {\rm O}{\rm K} = {\rm O}\Lambda$

Άρα οι διαγώνιοι του ${\rm A}{\rm K}\Gamma \Lambda$ διχοτομούνται, οπότε είναι παραλληλόγραμμο.

β) Αν το ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι ρόμβος τότε ${\rm A}\Gamma \bot {\rm B}\Delta \Rightarrow {\rm A}\Gamma \bot {\rm K}\Lambda$

άρα το παραλληλόγραμμο ${\rm A}{\rm K}\Gamma \Lambda$ είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα.

γ) Για να είναι το ${\rm A}{\rm K}\Gamma \Lambda$ ορθογώνιο πρέπει να έχει ίσες διαγωνίους, δηλαδή πρέπει:

${\rm K}\Lambda = {\rm A}\Gamma \Leftrightarrow \dfrac{{{\rm B}\Delta }}{3} = {\rm A}\Gamma \Leftrightarrow {\rm B}\Delta = 3{\rm A}\Gamma$

#91

4653

Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta \,\,\,\,\,}$ και έστω $\displaystyle{\,\,\,{\rm O}\,\,\,}$ το σημείο τομής των διαγωνίων $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}\Gamma \,\,,\,\,{\rm B}\Delta \,\,}$ .
Φέρνουμε την $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm E}\,\,\,}$ κάθετη στη διαγώνιο $\displaystyle{\,\,{\rm B}\Delta \,\,\,}$ . Εάν $\displaystyle{\,\,\,{\rm Z}\,\,\,}$ είναι το συμμετρικό του $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}\,\,\,}$ ως προς τη διαγώνιο ΒΔ $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm B}\Delta \,\,\,\,\,}$ , τότε να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}\Delta {\rm Z}\,\,\,}$ είναι ισοσκελές . (Μονάδες 7)
β) $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm Z}\Gamma = 2{\rm O}{\rm E}\,\,\,}$ . (Μονάδες 9)
γ) Το $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta {\rm Z}\Gamma \,\,\,\,}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9)

Λύση

α) Επειδή $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}{\rm E} \bot {\rm A}{\rm Z}\,\,}$ , και το $\displaystyle{\,{\rm E}\,\,}$ είναι μέσον της $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm Z}\,}$ , η $\displaystyle{\,\,{\rm B}{\rm E}\,\,\,}$ είναι μεσοκάθετη της $\displaystyle{\,{\rm A}{\rm Z}\,\,}$ κι αφού το $\displaystyle{\,\,\Delta \,\,\,}$ είναι σημείο της μεσοκαθέτου , έχουμε $\displaystyle{\,\Delta {\rm Z} = \Delta {\rm A}\,\,}$ άρα το $\displaystyle{\,\,\Delta {\rm Z}{\rm A}\,\,\,}$ είναι ισοσκελές

β) Στο τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm Z}\Gamma {\rm A}\,\,\,}$ τα $\displaystyle{\,\,\,{\rm E},{\rm O}\,\,\,}$ είναι μέσα δυο πλευρών (το $\displaystyle{\,\,\,{\rm O}\,\,\,}$ είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου ) , οπότε $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm E}{\rm O} = \frac{{{\rm Z}\Gamma }}{2} \Rightarrow {\rm Z}\Gamma = 2{\rm E}{\rm O}\,\,\,\,}$ .

γ) Από το (β) έχουμε $\displaystyle{\,\,\,{\rm E}{\rm O}//{\rm Z}\Gamma \Rightarrow {\rm B}\Delta //{\rm Z}\Gamma \,\,}$ άρα το $\displaystyle{\,{\rm B}\Delta \Gamma {\rm Z}\,\,\,}$ είναι τραπέζιο .
Επιπλέον , $\displaystyle{\,\,\,\Gamma \Delta = {\rm A}{\rm B} = {\rm B}{\rm Z}\,\,}$ αφού το $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}{\rm Z}\,\,\,}$ είναι ισοσκελές . Άρα είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Σχόλιο : Το ερώτημα (γ) πρέπει να διατυπωθεί ως εξής : Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές $\displaystyle{\,\,\,{\rm B},{\rm Z},\Gamma ,\Delta \,\,\,}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο , διότι ανάλογα με την κατασκευή του σχήματος , αλλάζει η διάταξη των γραμμάτων .

gavrilos · #92

Ακολουθεί η 4655(κύριε Καλαθάκη εμένα στο αρχείο μου δεν υπάρχει 4654,μάλλον την 4653 εννοείτε).

Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ .Στην προέκταση της $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε τμήμα $\displaystyle{BE=AB}$ και στην προέκταση της $\displaystyle{A\Delta}$ παίρνουμε τμήμα $\displaystyle{\Delta Z=A\Delta}$ .
Να αποδειχθεί ότι:
a) i)Τα τετράπλευρα $\displaystyle{B\Delta \Gamma E}$ και $\displaystyle{B\Delta Z\Gamma}$ είναι παραλληλόγραμμα.
ii)Τα σημεία $\displaystyle{Ζ,\Gamma ,E}$ είναι συνευθειακά.
b)Αν $\displaystyle{K,\Lambda}$ τα μέσα των $\displaystyle{BE,\Delta Z}$ αντίστοιχα τότε να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{K\Lambda \parallel \Delta B}$ και $\displaystyle{K\Lambda =\frac{3}{2}\cdot \Delta B}$ .

: Γεωμετρια mathematica_55.PNG (8.01 KiB) Προβλήθηκε 3081 φορές

a) i)Ισχύει $\displaystyle{BE=AB=\Gamma \Delta}$ από το παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ .Ακόμη $\displaystyle{AB\parallel \Gamma \Delta}$ κι επειδή το $\displaystyle{E}$ βρίσκεται στην ευθεία $\displaystyle{AB}$ θα είναι $\displaystyle{BE\parallel \Gamma \Delta}$ .Άρα $\displaystyle{BE=\parallel \Gamma \Delta}$ κι έτσι το τετράπλευρο $\displaystyle{B\Delta \Gamma E}$ είναι παραλληλόγραμμο.

Ισχύει $\displaystyle{\Delta Z=A\Delta =B\Gamma}$ από το $\displastyle{AB\Gamma \Delta}$ που είναι παραλληλόγραμμο.Ακόμη $\displaystyle{A\Delta \parallel B\Gamma}$ κι επειδή το $\displaystyle{Z}$ βρίσκεται στην ευθεία $\displaystyle{A\Delta }$ θα είναι $\displaystyle{\Delta Z\parallel B\Gamma}$ .Τελικά $\displaystyle{\Delta Z=\parallel B\Gamma}$ άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{B\Delta Z\Gamma}$ είναι παραλληλόγραμμο.

ii)Ισχύουν από τα παραλληλόγραμμα που βρήκαμε παραπάνω $\displaystyle{\Gamma E\parallel B\Delta}$ και $\displaystyle{Z\Gamma \parallel B\Delta}$ .Από το $\displaystyle{\Gamma}$ δεν μπορούμε να φέρουμε δύο διαφορετικές ευθείες παράλληλες προς την $\displaystyle{B\Delta}$ άρα οι ημιευθείες $\displaystyle{\Gamma E}$ και $\displaystyle{Z\Gamma}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.Έτσι τα σημεία $\displaystyle{E,\Gamma ,Z}$ είναι συνευθειακά.

b)Ισχύει όπως είδαμε $\displaystyle{B\Delta \parallel EZ}$ και οι ευθείες $\displaystyle{\Delta Z}$ και $\displaystyle{BE}$ δεν είναι παράλληλες αφού τέμνονται στο $\displaystyle{A}$ .Άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{B\Delta ZE}$ είναι τραπέζιο.Η $\displaystyle{K\Lambda}$ είναι διάμεσός του.Έτσι ισούται $\displaystyle{\frac{EZ+B\Delta}{2}}$ .Όμως $\displaystyle{EZ=\Gamma Z+\Gamma E=2B\Delta}$ .Επομένως $\displaystyle{K\Lambda =\frac{EZ+B\Delta}{2}=\frac{2B\Delta +B\Delta}{2}=\frac{3}{2}\cdot B\Delta}$ όπως θέλαμε.

Υ.Γ. Αν εντοπιστούν λάθη ενημερώστε με για να τα διορθώσω.

#93

Άσκηση 3708

: 3708.png (21.69 KiB) Προβλήθηκε 3104 φορές

Επειδή ${\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta$ θα είναι $\widehat {{\alpha _1}} = \widehat \Gamma = {30^0}$ .

Ας πούμε ${\rm A}{\rm B} = a,\Gamma \Delta = b\,,{\rm K}\Lambda = x,\,{\rm A}\Delta = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{\rm A}{\rm E} = u$ .

α)Από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm E}{\rm A}{\rm B}$ επειδή η κάθετη πλευρά ${\rm A}{\rm E}$ βρίσκεται απέναντι των ${30^0}$ θα είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας , δηλαδή ${\rm A}{\rm B} = 2{\rm A}{\rm E}$ ή $\boxed{a = 2u\,}\,(1)$ .

β)Με όμοιο τρόπο από το ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm E}\Delta \Gamma$ προκύπτει : $\Delta \Gamma = 2{\rm A}{\rm E}$ ή $\boxed{b = 2(y + u)}\,\,\,\,(2)$ . Από τις (1) και (2)

έχουμε : $\Delta \Gamma - {\rm A}{\rm B} = b - a = 2(y + u) - 2u = 2y\,\,(3)$ .

Όμως για το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγώνιων τραπεζίου ξέρουμε ότι είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται με την (θετική) ημιδιαφορά τους.

Δηλαδή και λόγω της (3),

${\rm K}\Lambda = x = \dfrac{{b - a}}{2} = \dfrac{{2y}}{2} = y = {\rm A}\Delta$ .

[attachment=0]3708_2.png[/attachment]

γ) Έστω τώρα ότι το ${\rm A}{\rm B}\Lambda {\rm K}$ είναι παραλληλόγραμμο . Τότε ${\rm A}{\rm B} = //{\rm K}\Lambda$ και άρα $a = x \Rightarrow \boxed{a = y}$ ( λόγω του β ερωτήματος) . Μα τότε το τρίγωνο ${\rm A}\Delta {\rm B}$ θα είναι ισοσκελές με κορυφή το ${\rm A}$ και άρα

$\widehat {{\alpha _2}} = \widehat {{\alpha _4}}$ . Όμως $\widehat {{\alpha _2}} = \widehat {{\alpha _3}}$ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ${\rm A}{\rm B}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\Delta \Gamma$ που τέμνονται από την $\Delta {\rm B}$ . Έτσι και λόγω μεταβατικότητας $\boxed{\widehat {{\alpha _3}} = \widehat {{\alpha _4}}}$ . Δηλαδή η $\Delta {\rm B}$ διχοτόμος της γωνίας των ${60^0}$ του

ορθογωνίου τριγώνου ${\rm E}\Delta \Gamma$ .

Κάποιες παρατηρήσεις που προφανώς δεν υποχρεούται ο μαθητής να τις γράψει .

Η όλη κατασκευή του σχήματος ακολουθεί την παρακάτω πορεία .

Με διάμετρο ευθύγραμμο τμήμα $\Delta \Gamma$ γράφουμε ημικύκλιο . Ο κύκλος κέντρου $\Delta$ και ακτίνας $\Delta \Gamma$ τέμνει το ημικύκλιο στο ${\rm E}$ . Από τυχαίο σημείο ${\rm B}$ του ${\rm E}\Gamma$ φέρνουμε παράλληλη

στην $\Delta \Gamma$ και τέμνει την ${\rm E}\Delta$ στο ${\rm A}$ .

Στην περίπτωση που το ${\rm A}{\rm B}\Lambda {\rm K}$ είναι παραλληλόγραμμο το σημείο ${\rm B}$ επιλέγεται ως τομή της ${\rm E}\Gamma$ με τη μεσοκάθετο του ${\rm B}\Gamma$ .

Φιλικά Νίκος

gavrilos · #94

Η 3708 που λύνετε παραπάνω κύριε Νίκο είναι ίδια με την 3709 (που έχω λύσει-φυσικά δεν έπρεπε να την ποστάρω αφού δεν ήταν "η σειρά της"- εδώ).

Θέμα 4731

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ και το ύψος του $\displaystyle{AM}$ .Φέρνουμε $\displaystyle{M\Delta \perp A\Gamma}$ και θεωρούμε το μέσο $\displaystyle{H}$ του $\displaystyle{M\Delta}$ .Από το $\displaystyle{H}$ φέρνουμε παράλληλη στη $\displaystyle{B\Gamma}$ η οποία τέμνει τις $\displaystyle{AM,A\Gamma}$ στα $\displaystyle{K,Z}$ αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι:
i) $\displaystyle{HZ=\frac{B\Gamma}{4}}$ ,
ii) $\displaystyle{MZ\parallel B\Delta}$ ,
iii) Η ευθεία $\displaystyle{AH}$ είναι κάθετη στη $\displaystyle{B\Delta}$ .

: Γεωμετρια mathematica_56.PNG (6.65 KiB) Προβλήθηκε 3027 φορές

i)Ισχύει $\displaystyle{HZ\parallel M\Gamma}$ κι επειδή το $\displaystyle{H}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{M\Delta}$ ,το $\displaystyle{Z}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ και $\displaystyle{HZ=\frac{M\Gamma}{2}}$ .

Όμως το $\displaystyle{AM}$ είναι,ως ύψος ισοσκελούς που βαίνει στη βάση,και διάμεσος κι έτσι $\displaystyle{M\Gamma =\frac{B\Gamma}{2}\Leftrightarrow HZ=\frac{M\Gamma}{4}}$ .

ii)Βλέπουμε πως η $\displaystyle{MZ}$ περνά από τα μέσα των $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ οπότε $\displaystyle{MZ\parallel B\Delta}$ .

ii)Από υπόθεση $\displaystyle{M\Delta \perp A\Gamma}$ ενώ αφού $\displaystyle{ZK\parallel B\Gamma}$ και $\displaystyle{AM\perp B\Gamma}$ θα είναι $\displaystyle{ZK\perp AM}$ .Επομένως το $\displaystyle{H}$ είναι το ορθόκεντρο του $\displaystyle{AMZ}$ κι έτσι $\displaystyle{AH\perp MZ}$ .

Όμως από το ερώτημα ii) ισχύει $\displaystyle{MZ\perp B\Delta}$ άρα $\displaystyle{AH\perp B\Delta}$ .

Υ.Γ. Αν εντοπιστούν λάθη ενημερώστε με για να τα διορθώσω.

#95

Άσκηση 4735

Έστω τρίγωνο $AB\Gamma$ και $A\Delta$ η διχοτόμος της γωνίας

για την οποία ισχύει $A\Delta=\Delta\Gamma$ . Η $\Delta E$ είναι διχοτόμος της γωνίας $A\Delta B$ και η $\Delta Z$ είναι παράλληλη στην

. Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τμήματα $E\Delta, A\Gamma$ είναι παράλληλα. (Μονάδες

)

β) Το τρίγωνο $EA\Delta$ είναι ισοσκελές. (Μονάδες

)

γ) Τα τμήματα $A\Delta, EZ$ διχοτομούνται. (Μονάδες

)

Λύση:

$\displaystyle{{\rm E}\widehat \Delta {\rm A} = {\rm E}\widehat \Delta {\rm B} = \varphi ,{\rm E}\widehat {\rm A}\Delta = \Delta \widehat {\rm A}{\rm Z}\mathop = \limits^{{\rm A}\Delta = \Delta \Gamma } \Delta \widehat \Gamma {\rm A} = \omega }$

$\displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = \Delta \widehat {\rm A}\Gamma + \Delta \widehat \Gamma {\rm A}}$ (ως εξωτερική στο τρίγωνο $A\Delta\Gamma)$

Άρα: $\displaystyle{2\omega = 2\varphi \Leftrightarrow \omega = \varphi \Leftrightarrow {\rm E}\widehat {\Delta}\rm B = {\rm A}\widehat \Gamma \Delta \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\rm E}\Delta ||{\rm A}\Gamma }$ (επειδή οι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες)

: 4_4735.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 2869 φορές

β) $\displaystyle{\omega = \varphi \Leftrightarrow {\rm E}\widehat {\rm A}\Delta = {\rm E}\widehat \Delta {\rm A} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\rm E}{\rm A} = {\rm E}\Delta }$ και το τρίγωνο $EA\Delta$ είναι ισοσκελές.

γ) Το τετράπλευρο $AE\Delta Z$ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε τα τμήματα $A\Delta, EZ$ διχοτομούνται.

gavrilos · #96

Edit:Η 4737 έχει λυθεί εδώ από τον κύριο Νίκο (Doloros) οπότε

Θέμα 4741

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB<A\Gamma}$ .Στην προέκταση της $\displaystyle{AB}$ προς το $\displaystyle{B}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ ώστε $\displaystyle{AE=A\Gamma}$ .Στην πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ θεωρούμε σημείο $\displaystyle{\Delta }$ ώστε $\displaystyle{A \Delta =AB}$ .Αν τα τμήματα $\displaystyle{\Delta E}$ και $\displaystyle{B\Gamma}$ τέμνονται στο $\displaystyle{K}$ και προέκταση της $\displaystyle{AK}$ τέμνει την $\displaystyle{E\Gamma}$ στο $\displaystyle{M}$ .
Να αποδειχθεί ότι:
i) $\displaystyle{B\Gamma =\Delta E}$ ,
ii $\displaystyle{BK=\Delta K}$ ,
iii) Η $\displaystyle{AK}$ είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\angle{A}}$ ,
iv) Η $\displaystyle{AM}$ είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle{E\Gamma}$ .

: Γεωμετρια mathematica_57.PNG (10.36 KiB) Προβλήθηκε 2964 φορές

i) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $\displaystyle{\triangle{AE\Delta}}$ και $\displaystyle{AB\Gamma}$ .Έχουν $\displaystyle{AE=A\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta =AB}$ (από υπόθεση).Ακόμη έχουν κοινή τη γωνία $\displaystyle{\angle{A}}$ όποτε από Π-Γ-Π είναι ίσα.

ii)Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $\displaystyle{\triangle{B\Gamma \Delta}}$ και $\displaystyle{\triangle{B\Delta E}}$ .Έχουν κοινή την $\displaystyle{B\Delta }$ και $\displaystyle{B\Gamma =\Delta E}$ από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος i).Ακόμη $\displaystyle{BE=AE-AB\overset{i)}=A\Gamma -AB\overset{i)}=A\Gamma -A\Delta =\Delta \Gamma}$ .Επομένως από Π-Π-Π τα τρίγωνα είναι ίσα κι έτσι $\displaystyle{\angle{\Gamma B\Delta}=\angle{B\Delta E}}$ .Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{\triangle{BK\Delta}}$ είναι ισοσκελές κι έτσι $\displaystyle{K\Delta=BK}$ .

iii)Συγκρίνουμε τα τρίγωνα $\displaystyle{\triangle{AEK}}$ και $\displaystyle{\triangle{AK\Gamma}}$ .Έχουν κοινή την $\displaystyle{AK}$ ενώ είναι $\displaystyle{AE=A\Gamma}$ από υπόθεση.Ακόμη $\displaystyle{EK=E\Delta -K\Delta}$ .Όμως $\displaystyle{E\Delta =B\Gamma}$ και $\displaystyle{K\Delta =BK}$ οπότε $\displaystyle{EK=B\Gamma -BK=K\Gamma}$ .Τελικά από Π-Π-Π τα δύο τρίγωνα είναι ίσα κι έτσι $\displaystyle{\angle{EAK}=\angle{\Gamma AK}}$ ή ισοδύναμα η $\displaystyle{AK}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle{A}}$ .

iv)Το τρίγωνο $\displaystyle{\triangle{AE\Gamma}}$ είναι ισοσκελές και η $\displaystyle{AM}$ είναι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής άρα είναι και ύψος και διάμεσος και μεσοκάθετος της βάσης.

Υ.Γ. Αν εντοπιστούν λάθη ενημερώστε με για να τα διορθώσω.

Edit:Έβαλα σχήμα.

ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ · #97

Σήμερα στο σχολείο μας κληρώθηκε στη Γεωμετρία για 4ο, το θέμα 4555 (που έχει επισημανθεί εδώ ότι έχει ελλιπή εκφώνηση). Τζάμπα κοπιάζουμε δεν ιδρώνει το αυτί τους.

#98

ΠΑΙΔΙΑ μην κάνετε μορφοποίηση στο κείμενο γιατί με κουράζετε στην αποδελτίωση.

#99

ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ έγραψε:Σήμερα στο σχολείο μας κληρώθηκε στη Γεωμετρία για 4ο, το θέμα 4555 (που έχει επισημανθεί εδώ ότι έχει ελλιπή εκφώνηση). Τζάμπα κοπιάζουμε δεν ιδρώνει το αυτί τους.

Για το τρίτο ερώτημα και χωρίς να θέλω να υπερασπιστώ τα της τράπεζας.

Ανεξάρτητα αν ή όχι υπάρχουν ελλείψεις στο υποτιθέμενο γραπτό του μαθητή
Το τμήμα της απάντησης του :

« ${\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {\rm E}\widehat {\rm A}{\rm B}$ ( εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των ${\rm A}{\rm B}//{\rm M}\Delta$ που τέμνονται από την $\Delta {\rm E}$ » θεωρεί κακώς τα σημεία ${\rm E},{\rm A},\Delta$ συνευθειακά γιατί αυτό είναι ζητούμενο και συνεπώς αυτό είναι το σημείο στο οποίο εστιάζεται το λάθος .

Βεβαίως ως ερώτημα είναι ύπουλο γιατί πιθανόν οι μαθητές να γράψουν ότι το λάθος είναι μόνο οι υποτιθέμενες παραλήψεις του μαθητή.

#100

Υπό κατασκευήν 4753

Δίνεται κύκλος με κέντρο $\displaystyle{\,\,{\rm O}\,\,}$ και ακτίνα $\displaystyle{\,\,\rho \,\,}$ . Έστω σημείο $\displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}\,\,\,\,\,}$ εξωτερικό του κύκλου και τα εφαπτόμενα τμήματα $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B}\,,\,\,{\rm A}\Gamma \,\,}$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}{\rm A}\Gamma = {60^0}\,\,\,}$ . Έστω ότι η εφαπτόμενη του κύκλου στο $\displaystyle{\,\,\,\Delta \,\,}$ τέμνει τις $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B}\,\,\,}$ και $\displaystyle{\,\,{\rm A}\Gamma \,\,}$ στα $\displaystyle{\,\,\,{\rm E}\,\,\,}$ και $\displaystyle{\,{\rm H}\,\,\,}$ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}{\rm O}\Gamma \,\,\,}$ είναι εγγράψιμο με $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm O}{\rm A} = 2{\rm O}{\rm B}\,\,\,\,}$ . (Μονάδες 6)
β) Το τρίγωνο $\displaystyle{{\mkern 1mu} {\rm{AE{\rm Z}}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }$ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 6)
γ) $\displaystyle{\,\,\,2{\rm Z}{\rm B} = {\rm A}{\rm Z}\,\,\,}$ (Μονάδες 7)
δ) Το τετράπλευρο $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm E}{\rm Z}{\rm B}\Gamma \,\,\,}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 6)

Πως προκύπτει από την εκφώνηση η θεση του $\displaystyle{\,\,\,\,\Delta \,\,\,\,}$ ;

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Μέλη σε σύνδεση