Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

#1

Αν $(X, \rho)$ είναι ένας συμπαγής μετρικός χώρος και $f:X \to X$ μία ισομετρία (δηλαδή $\rho(x,y)=\rho(f(x),f(y)), \forall x,y \in X$ ). Να αποδειχθεί ότι η

είναι επί.
Στηριζόμενοι στο παραπάνω αποτέλεσμα, να αποδειχθεί ότι ο χώρος l_2

του Hilbert είναι μη συμπαγής
(Ο l_2

είναι ο χώρος των πραγματικών ακολουθιών x_n

, όπου $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}}x_n^2<+\infty$ , με την τοπολογία που εισάγει η μετρική $\rho (x_n,y_n)=\sqrt{\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}}(x_n-y_n)^2}$ )

Ιστοσελίδα · #2

Υποθέτουμε ότι η

δεν είναι επί. Τότε υπάρχει ένα $x\in X$ τέτοιο ώστε $x\notin f(X)$ .
Αφού η

είναι ισομετρία, θα είναι συνεχής συνάρτηση και επειδή ο

είναι συμπαγής, τότε και το f(X)

θα είναι συμπαγές υποσύνολο του

. Άρα

.
Παίρνουμε την ακολουθία $x_0=x , \; x_1=f(x_0) , \cdots , x_n=f(x_{n-1}) , \cdots$ . Για την ακολουθία αυτή ισχύει ότι $x_n\in f(X)$ , για κάθε $n\geq 1$ .
Το f(X)

είναι συμπαγές, άρα και ακολουθιακά συμπαγές, οπότε η ακολουθία $(x_n), n\geq 1$ έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, δηλαδή βασική υπακολουθία. Επομένως υπάρχουν m,n

με $m>n\geq 1$ ώστε $\rho (x_m, x_n)<a$ .
Η

είναι ισομετρία, άρα $\rho (x_m, x_n)=\rho (f(x_{m-1}), f(x_{n-1}))=\rho (x_{m-1}, x_{n-1})= \dots = \rho (x_{m-n}, x)$ .
Όμως το $x_{m-n}\in f(X)$ , οπότε $d(x,f(X))\leq \rho(x,x_{m-n})=\rho (x_m, x_n) < a$ , άτοπο.
Επομένως η

είναι επί.

Στον χώρο $\l_2$ θεωρούμε τον τελεστή της δεξιάς μετατόπισης $S_r : \l_2 \to \l_2$ με $S_r(x_1, x_2, x_3, \cdots ) = (0,x_1, x_2, \cdots)$ . Ο S_r

είναι ισομετρία και δεν είναι επί.
Σύμφωνα με τα προηγούμενα ο $\l_2$ δεν είναι συμπαγής.

#3

Άλλος τρόπος: Έστω y δεν ανήκει στο f(X). Tότε λόγω συμπάγειας, d(y, f(X)) = a > 0.
Πάλι από συμπάγεια υπάρχει πεπερασμένο ανοικτό κάλυμμα του Χ από σύνολα (μπάλες) διαμέτρου < a/2.
Έστω Ν ο μικρότερος φυσικός για τον οποίο υπάρχει τέτοιο κάλυμμα από Ν ανοικτά σύνολα.
Το σύνολο που περιέχει το y σίγουρα δεν τέμνει το f(X). To πετάμε αυτό το σύνολο. Έτσι το f(X)
καλύπτεται από Ν-1 ανοικτά σύνολα διαμέτρου < a/2. Οι αντίστροφες εικόνες τους είναι ανοικτά σύνολα
που καλύπτουν τον Χ. Αλλά τα σύνολα αυτά έχουν, λόγω ισομετρίας, διάμετρο < a/2. Αυτό αντιβαίνει στην υπόθεση ότι ο Ν είναι
ο ελάχιστος φυσικός με την εν λόγω ιδιότητα. ό.ε.δ.

Το παράδειγμα της ισομετρίας στον l_2

που δίνει ο Στάτης (stranton) παραπάνω, είναι το ίδιο που έχω και εγώ υπόψη. Πρόκειται για τον
γνωστό και καλομελετημένο τελεστή ονόματι forward shift. "Άλλο" παράδειγμα είναι ο
$T(x_1, x_2, x_3, ...\, )= (x_1, 0, x_2, 0, x_3, 0, ...\, )$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Y.Γ. Η ίδια απόδειξη δείχνει ότι η f είναι επί ακόμη και με την ασθενέστερη υπόθεση ότι $d(f(x), f(y)) \ge d(x,y)$ για κάθε x, y.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Y.Γ. Η ίδια απόδειξη δείχνει ότι η f είναι επί ακόμη και με την ασθενέστερη υπόθεση ότι $d(f(x), f(y)) \ge d(x,y)$

Ψάχνω κάμποση ώρα τώρα να βρω παράδειγμα συμπαγούς μετρικού χώρου Χ και μιας f : X ---> X που ικανοποιεί $d(f(x), f(y)) \ge d(x,y)$ για κάθε x, y αλλά που δεν είναι ισομετρία, και δεν βρίσκω.

Αντιθέτως υποπτεύομαι, όχι χωρίς αιτία, ότι δεν υπάρχει τέτοιο παράδειγμα! Δηλαδή όλες αυτές οι f είναι ισομετρίες.

Ξέρει κανείς; Νομίζω ότι είναι ενδιαφέρον πρόβλημα. Ουκέτι χρόνος για να το δω...

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Συγνώμη για την καθυστερημένη παρέμβαση, αλλά ας όψεται η έλλειψη σύνδεσης.
Η δική μου προσέγγιση στο πρόβλημα είναι όπως αυτή του Στράτου.
Μιχάλη, μόλις τώρα είδα το μήνυμά σου. Καλώς υποπτεύεσαι ότι ότι όλες οι συναρτήσεις που έχουν αυτή την ιδιότητα είναι ισομετρίες επί. Είναι ένα ενδιαφέρον και συνάμα δύσκολο πρόβλημα που δεν έχω καταφέρει ακόμη να λύσω. Βρίσκομαι, νομίζω, σε καλό δρόμο, αλλά δεν έχω φτάσει ακόμη σε αποτέλεσμα. Κάθε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη
Φιλικά

#6

s.kap έγραψε: Καλώς υποπτεύεσαι ότι ότι όλες οι συναρτήσεις που έχουν αυτή την ιδιότητα είναι ισομετρίες επί. Είναι ένα ενδιαφέρον και συνάμα δύσκολο πρόβλημα

Σπύρο, πραγματικά ισχύει. Έκανα μία απόδειξη, αλλά είναι κάπως πολύπλοκη. Θα την γράψω αργότερα σήμερα γιατί για την ώρα προσπαθώ να την βελτιώσω.

Το περίεργο είναι ότι για την εν λόγω απόδειξη εργάζομαι με την $f^{-1}$ που έχει την ανάποδη ιδιότητα (μικραίνει τις αποστάσεις). Συγκεκριμένα δείχνω σε ένα βήμα ότι μία επί g σε συμπαγή μετρικό χώρο που μικραίνει τις αποστάσεις, τις διατηρεί!
Υποθέτω ότι είναι γνωστά όλα αυτά, αλλά δεν τα ήξερα. Πάντως είναι άκρως προκλητικά! Φαντάζομαι ακόμη ότι αν τα περιορίσεις στο [α, β] μπορείς να φτιάξεις καινούργιες, ωραίες και όχι τόσο δύσκολες ασκήσεις για εισαγωγικό μάθημα Ανάλυσης. Θα δούμε,,,

Φιλικά,

Μιχάλης

#7

s.kap έγραψε: Καλώς υποπτεύεσαι ότι ότι όλες οι συναρτήσεις που έχουν αυτή την ιδιότητα είναι ισομετρίες επί. Είναι ένα ενδιαφέρον και συνάμα δύσκολο πρόβλημα

Βάζω μία απόδειξη αλλά ομολογώ ότι με κούρασε πολύ.

Θέλουμε να δείξουμε ότι αν Χ συμπαγής μετρικός χώρος και f: X ---> X ικανοποιεί $d(f(x), f(y)) \ge d(x,y)$ για κάθε x,y, τότε η f είναι ισομετρία.

Από τα παραπάνω βλέπουμε ότι η f είναι επί (και οι δύο παραπάνω αποδείξεις προσαρμόζονται με σχεδόν τεριμμένο τρόπο για την γενικότερη αυτή περίπτωση).

Για κάποιο λόγο μας βολεύει να εργαστούμε με την $g = f^{-1}$ που, από το παραπάνω, ορίζεται σε όλο το Χ. Η g αυτή προφανώς μειώνει τις αποστάσεις, δηλαδή $d(g(x), g(y)) \le d(x,y)$ , και το πρόβλημά μας είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι η g είναι ισομετρία.

Έστω ότι δεν είναι ισομετρία και έστω a, b στοιχεία του Χ με ε = d(a,b) - d(g(a), g(b)) > 0

. Θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Λόγω συμπάγειας υπάρχει πεπερασμένο ε/5 δίκτυο (δηλαδή υπάρχει φυσικός Ν και υπάρχουν στοιχεία a_1, a_2, ... , a_N

του Χ έτσι ώστε κάθε άλλο στοιχείο του Χ απέχει λιγότερο από ε/5 από κάποιο από αυτά).

Σταθεροποιούμε αυτό το Ν και ορίζουμε το εξής υποσύνολο του (συμπαγούς μετρικού χώρου) X^N

:

$A = \{ (a_1, a_2, ... , a_N) \in X^N :$ τα

αποτελούν ε/5 δίκτυο του Χ}.

Είναι απλό να δούμε ότι το Α είναι κλειστό και άρα συμπαγές υποσύνολο του X^N

. Επίσης, επειδή η g μειώνει τις αποστάσεις, ισχύει ότι αν $(a_1, a_2, ... , a_N) \in A$ τότε και $(g(a_1),g( a_2), ... , g(a_N)) \in A$ (απόδειξη: έστω x στο Χ. επιλέγουμε a_k

με

ε/5. Τότε $d(x,g( a_k)) = d(g(f(x)),g( a_k)) \le d(f(x),a_k) <$ ε/5.)

Ορίζουμε τώρα $h : A \rightarrow \mathbb R$ ως $h(a_1, a_2, ... , a_N) = \sum_{m,n}d(a_m, a_n)$

H h είναι συνεχής (απλό) σε συμπαγή, άρα λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της. Έστω στο

.
Επειδή η g μειώνει τις αποστάσεις, ισχύει $h(g(a_1),g( a_2), ... , g(a_N)) \le h(a_1, a_2, ... , a_N) \le h(g(a_1),g( a_2), ... , g(a_N))$ άρα έχουμε ισότητα και συνεπώς για κάθε m. n είναι d(g(a_m),g( a_n)) = d(a_m, a_n)

(*).

Tώρα, για τα a και b στην αρχή της απόδειξης, υπάρχουν από τον ορισμό του ε/5 δικτύου, a_m, a_n

με

ε/5,

ε/5.

Τέλος έχουμε

$d(a_m,a_n) = d(g(a_m),g(a_n)) \le d(g(a_m),g(a)) + d(g(a), g(b)) + d(g(b),g(a_n)) <$

$< \epsilon /5 + d(g(a),g(b)) + \epsilon / 5 = 2\epsilon /5 + d(a,b) - \epsilon = d(a,b) - 3\epsilon /5 \le$

$\le d(a,a_m) + d(a_m,a_n) + d(a_n,b)- 3\epsilon /5 < \epsilon /5 + d(a_m,a_n)+ \epsilon /5 - 3\epsilon /5=$

$=d(a_m,a_n)- \epsilon /5$ .

Καταλήξαμε δηλαδή στο άτοπο $d(a_m,a_n) < d(a_m,a_n)- \epsilon /5$ , όπως θέλαμε.

Άρα...

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

(*) Προσθήκη αργότερα
Αυτή η ισότητα είναι το κλειδί από όπου σκέφτηκα την υπόλοιπη απόδειξη. Θα ήθελα σε αυτό το σημείο
να πω πώς σκεπτόμαστε:

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι d(g(x), g(y)) = d(x,y) για όλα τα x, y. Ευνόητο είναι να την αποδείξουμε πρώτα για κάποια. Αλλά ποιά και πώς;
Το ποιά: στη περίπτωση των συμπαγών, είναι σαφές: τα πεπέρασμένα εκείνα το πλήθος σημεία που όλα τα άλλα είναι κοντά τους.
Το πώς: Χμμμμ. Για να καταλήξουμε σε ισότητα από μία ανισότητα (εδώ την d(g(x),g(y)) $\le$ d(x,y)) ευνόητο είναι να εξετάσουμε σημεία που έχουν μία ακραία συμπεριφορά ως προς το d(x,y). Δηλαδή το g των σημείων να μην τα μικραίνει άλλο (γιατί αυτό είναι το ζητούμενο). Οπότε εξετάζουμε την ελάχιστη δυνατή τιμή των d(x,y) για τα σημεία που μελετάμε.

Από κει και πέρα η απόδειξη είναι φυσιολογική: Αφού για τα a1, ... aN έχουμε ισότητα τότε για τα κοντινά τους σημεία δεν μπορεί να έχουμε μεγάλη ανισότητα. Οπότε όλη η διαδικασία είναι να μείνουμε κοντά στα καλά σημεία.

Μ.

#8

Μιχάλη, εξαιρετική απόδειξη. Ευχαριστούμε.

#9

Μιχάλη, ευχαριστούμε για την ωραία λύση. Βρήκα και άλλη μία (έφτυσα αίμα)
Έστω $x,y \in X$ , τότε $d(x,y) \leq d(f(x),f(y))$
Θεωρώ τις ακολουθίες a_n,b_n

, οι οποίες ορίζονται ως εξής
$a_1=x, a_{n+1}=f(a_n) \wedge b_1=y, b_{n+1}=f(b_n})$
Η a_n

έχει συγκλίνουσα υπακολουθία $a_{k_n}$ και η $b_{k_n}$ έχει συγκλίνουσα υπακολουθία $b_{l_n}$ ( $\{l_n/n \in \mathbb{N}\} \subset \{k_n/n \in \mathbb{N}\}$ )
Η $a_{l_n}$ είναι Cauchy, αφού είναι συγκλίνουσα(υπακολουθία της συγκλίνουσας $a_{k_n}$ ). Το ίδιο και η $b_{l_n}$
Άρα υπάρχει $n_0 \in \mathbb{N}$ ώστε (1): $d(a_{l_n},a_{l_{n_0}})< \frac {\varepsilon}{2}$ και (2): $d(b_{l_n},b_{l_{n_0}})< \frac {\varepsilon}{2}$
Λόγω της δοθείσας διαστολικής διαδικασίας (3) : $d(a_{l_n-l_{n_0}},x)< \frac {\varepsilon}{2}$ και (4): $d(b_{l_n-l_{n_0}},y)< \frac {\varepsilon}{2}$
Θέτω $l_n-l_{n_0}=m$ , άρα (5): $d(a_m,x)<\frac {\varepsilon}{2}$ και
(6): $d(b_m,y)<\frac {\varepsilon}{2}$
Αλλά (πάλι από τη διαστολική διαδικασία) : $d(a_m,b_m) \geq d(f(x),f(y))$
Τελικά
$\varepsilon+d(x,y)\geq d(a_m,x)+d(x,y)+d(y,b_m) \geq d(a_m,b_m) \geq d(f(x),f(y))$
Δηλαδή $\varepsilon+d(x,y)\geq d(f(x),f(y)), \forall \varepsilon>0 \Rightarrow$
$d(x,y)\geq d(f(x),f(y))$
Και το ζητούμενο αποδείχθηκε
Φιλικά

AlexandrosG · #10

Καλησπέρα.

Βρήκα μια λύση στο δεύτερο πρόβλημα που τέθηκε σε αυτό το παλιό θέμα από τον κ. Μιχάλη. Αν και είναι παρόμοια με τη λύση του κ. Σπύρου, την γράφω γιατί έχει ένα σημείο με ξεχωριστό ενδιαφέρον. Το πρόβλημα είναι:

Έστω

ένας συμπαγής μετρικός χώρος και $f:X \to X$ τέτοια ώστε $d(f(x),f(y)) \geq d(x,y)$ για όλα τα $x,y \in X$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι η

είναι ισομετρία. Αρκεί $d(x, y) \geq d(f(x),f(y))$ για κάθε x,y

.

Έστω $x,y \in X$ . Θεωρούμε τις ακολουθίες (x_n),(y_n)

που ορίζονται αναδρομικά ως $x_{n+1}=f(x_n),x_1=x$ και $y_{n+1}=f(y_n),y_1=y$ αντίστοιχα.

Καταρχάς παρατηρούμε ότι για κάθε $n\geq 2$

$\displaystyle{d(x_n,y_n) =d(f(x_{n-1}),f(y_{n-1})) \geq d(x_{n-1},y_{n-1}) \geq ...\geq d(x_2,y_2)=d(f(x),f(y))}$ (*)

Επίσης παρατηρούμε ότι για m>n

έχουμε

$\displaystyle{d(x_m,x_n) = d(f(x_{m-1}),f(x_{n-1})) \geq d(x_{m-1},y_{n-1}) \geq ... \geq d(x_{m-n+1},x)}$ (**)

και όμοια $\displaystyle{d(y_m,y_n)\geq d(y_{m-n+1},y)}$ (***)

Τώρα από συμπάγεια η (x_n)

έχει υπακολουθία που συγκλίνει στο

και η

έχει υπακολουθία που συγκλίνει στο

. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι υπακολουθίες αυτές έχουν του ίδιους δείκτες, έστω k_n

. Επίσης, παραλείποντας μερικούς όρους αν χρειαστεί μπορούμε να υποθέσουμε ότι $k_{n+2}-k_{n+1}+1 >k_{n+1}-k_n+1$ .

Τότε από τη σχέση (**)

παίρνουμε ότι $\displaystyle{d(x_{k_{n+1}-k_n+1},x)\leq d(x_{k_{n+1}},x_{k_n})}$ . Εδώ είναι το ενδιαφέρον σημείο. Όταν $n\to +\infty$ το δεξί μέλος τείνει στο d(a,a)=0

με συνέπεια η ακολουθία $\displaystyle{x_{k_{n+1}-k_n+1}}$ να τείνει στο

. Δηλαδή η αρχική μας ακολουθία x,f(x),f(f(x)),...

έχει υπακολουθία που συγκλίνει στο

! (Για οποιοδήποτε

και για οποιαδήποτε ισομετρία σε συμπαγή χώρο!).

Για την ολοκλήρωση της απόδειξης ισχύει όμοια από την (***)

και ότι $\displaystyle{y_{k_{n+1}-k_n+1}\to y}$ .

Από τη σχέση (*)

παίρνουμε $\displaystyle{d(x_{k_{n+1}-k_n+1},y_{k_{n+1}-k_n+1}) \geq d(f(x),f(y))}$ . Παίρνοντας $n \to +\infty$ βρίσκουμε $d(x,y) \geq d(f(x),f(y))$ που είναι αυτό που θέλαμε. Άρα η

είναι ισομετρία.

Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Re: Ισομετρίες σε συμπαγή χώρο

Μέλη σε σύνδεση