Τμήμα ίσο με την απόλυτη διαφορά τμημάτων

#1

: τμήμα ίσο με την απόλυτη διαφορά τμημάτων.png (33.54 KiB) Προβλήθηκε 1070 φορές

Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle ABC}$ και ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ , με $\displaystyle{G\in \left( \varepsilon \right)}$ , όπου $\displaystyle{G}$ το βαρύκεντρο του τριγώνου και ας είναι $\displaystyle{M\equiv \left( \varepsilon \right)\cap BC,N\equiv \left( \varepsilon \right)\cap CA,P\equiv \left( \varepsilon \right)\cap AB}$ .

Αν $\displaystyle{{P}',{M}',{N}'}$ είναι τα δεύτερα, εκτός του $\displaystyle{A}$ , κοινά σημεία της ευθείας $\displaystyle{GA}$ με τους περίκυκλους των τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle AMN,\vartriangle ANP,\vartriangle APM}$ αντίστοιχα,

δείξτε ότι: $\displaystyle{G{M}'=\left| G{N}'-G{P}' \right|}$ .

Στάθης

MAnTH05 · #2

Από δύναμη του

ως προς τους περίκυκλους ισχύει:
$GP'=\frac{GM\cdot GP}{GA} GN'=\frac{GN\cdot GP}{GA} GM'=\frac{GN\cdot GM}{GA}$
Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι:
$GM\cdot GP = GN\cdot GP + GN\cdot GM \Rightarrow GM\cdot GP = GN(GP+GM) \Rightarrow GN = \frac{GM\cdot GP}{GP + GM} \Rightarrow \frac{1}{GN} = \frac{1}{GP} + \frac{1}{GM}$
που ισχύει (βλ. εδώ:https://math.stackexchange.com/question ... -at-points για την απόδειξη)

Τμήμα ίσο με την απόλυτη διαφορά τμημάτων

Τμήμα ίσο με την απόλυτη διαφορά τμημάτων

Re: Τμήμα ίσο με την απόλυτη διαφορά τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση