Γεωμετρείν 31

Δημήτρης Μυρογιάννης · #1

Έστω τρίγωνο ABC

με γωνίες

.
Αν

σημείο επί της

τέτοιο ώστε οι γωνίες BCD,DCE

να έχουν μέτρο a,b

αντίστοιχα η κάθε μια και

σημείο της

τέτοιο ώστε BD=CE

, βρείτε το μέτρο της γωνίας CDE=x

.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 31.PNG (24.31 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

#2

Ανεβάζω τα σχήματα και την λύση αργότερα
χ=30
Εδώ είναι η λύση
Αφού $\alpha +\beta =60^o\Leftrightarrow \alpha =60^o- \beta$ οπότε
Α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Εάν ο κύκλος με κέντρο Δ και ακτίνα ΔΒ τέμνει την ΒΓ εξωτερικά προς το Β έχουμε:
γωνίες ΒΔΓ = 3β , ΔΒΓ = 120 - 2β , ΒΓΔ = 60 - β
ΖΒΔ = ΒΖΔ = 2β + 60 και ΒΔΖ = 60 - 4β
ΑΡΑ ΖΔΓ = 60 - β δηλαδή το τρίγωνο ΔΖΓ ισοσκελές με ΔΖ = ΖΓ
Τότε ΕΓΖ ισοσκελές με Γ = 60 άρα ισόπλευρο δηλαδή ΔΖΕ ισοσκελές με ΔΖ = ΖΕ
τότε $2(60^o- \beta + x) + 2 \beta= 180^o \Leftrightarrow x = 30^o$
Β ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Εάν ο κύκλος εφάπτεται στην ΒΓ στο Β τότε προκύπτει ότι $\alpha = 45^o$ και $\beta = 15^o$
το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Β και $\Gamma = 60^o$ και A = 30^o

οπότε ΔΒ = ΒΓ = ΓΕ = ΕΑ
δηλαδή αν φέρουμε την ΕΚ κάθετη στη ΒΓ έχουμε ότι η υποτείνουσα είναι ίση με την κάθετη πλευρά. ΑΤΟΠΟ
Γ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Εάν ο κύκλος περάσει από το Γ τότε το ΔΒΓ ισοσκελές δηλαδή οι γωνίες ΔΒΓ = ΔΓΒ οπότε 2α = α ΑΤΟΠΟ
Δ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Εάν ο κύκλος τέμνει την ΒΓ εξωτερικά προς το Γ στο σημείο Ζ τότε ΒΔ = ΔΖ δηλαδή στο τρίγωνο ΔΖΓ η εξωτερική γωνία ΔΓΖ = α > ΔΖΓ = 2α ΑΤΟΠΟ

Η συνέχεια στο επόμενο επεισόδιο

#3

ΣΥΝΕΧΙΖΟΥΜΕ ........
Ε ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Έχει μείνει η περίπτωση , ο κύκλος να τέμνει την ΒΓ εσωτερικά στο Ζ. Τότε έχουμε
γωνίες ΔΒΖ = ΔΖΒ = 2α άρα το τρίγωνο ΔΖΓ ισοσκελές γιατί η γωνία ΖΔΓ = α = ΔΓΖ με Γ = 60 άρα ισόπλευρο
Έτσι ΔΖ = ΖΕ δηλαδή η γωνία ΔΖΕ = 2β γιατί ΕΖΓ = 60 και α + β = 60
Έτσι έχουμε $2(\alpha + x) + 2 \beta= 180^o \Leftrightarrow x = 30^o$

Ουφ ... τέλος

S.E.Louridas · #4

Δημήτρη μία διαπραγμάτευση στην όμορφη Άσκηση σου, στην περίπτωση που ανέφερε ο Χρίστος $\angle B < 90^ \circ .$

$a + b = 60^ \circ .$
Αν θεωρήσουμε τον κύκλο (D,DB)

θα τμήσει την

στο σημείο

${}{'}{\rm A}\rho \alpha ,DB = DS = SC = CE \Rightarrow \angle ESC = \angle ECS = 60^ \circ .$
Οπως είδαμε το τρίγωνο SCE

είναι ισόπλευρο.
Έστω τώρα, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (DSE)

τέμνει την

στο σημείο

Εύκολα παίρνουμε:
$a = \angle SEF \Rightarrow \angle FEC = b = \angle FCE \Rightarrow SF \bot EC \Rightarrow x = \angle ESF = 30^ \circ .$

(*) ΟΜΩΣ, Μένει η υποχρεωτική διαδικασία της διερεύνησης, που όπως την βλέπω, οδηγεί με την ίδια μέθοδο επίλυσης πού προανέφερα στην ιδια συμπερασματολογία γιά την

και στην περίπτωση της αμβλείας γωνίας

Όπου τότε απλά έχουμε: $\angle DSB = 180^ \circ - 2a.$
Μάλλιστα στο σχήμα που παραθέτω, έχω την περίπτωση αυτή.

Με κάθε επιφύλαξη,

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #5

Θα ήθελα απλά να επισημάνω (με βάση το σχήμα μου) ότι:
$2a > a \Rightarrow DC > DB = DS.$
Επομένως έχουμε τις εξής περιπτώσεις για την γωνία

:
1) Οξεία με το

να είναι εσωτερικό σημείο της πλευράς BC,

2) Αμβλεία με το

να είναι εξωτερικό σημείο της πλευράς

(αριστερά)
3) Ορθή, που εύκολα οδηγεί στο άτοπο ( AC=BC

)

(*) Όμορφη Άσκηση με Διερευνητικό πεδίο.

S.E.Louridas

Δημήτρης Μυρογιάννης · #6

Χρήστο και Σωτήρη ευχαριστώ.
Επί της

παίρνουμε σημείο

τέτοιο ώστε το DBH

να είναι ισοσκελές.
Αυτό δημιουργεί το ισοσκελές DHC

και το ισόπλευρο EHC

(αφού

μοίρες).
Φέρουμε τη μεσοκάθετο του

που τέμνει την

στο σημείο

.
To τετράπλευρο D EFH

είναι εγγράψιμο λόγω των γωνιών

.... οπότε x=30

μοίρες.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 31 ΛΥΣΗ.PNG (42.08 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Γεωμετρείν 31

Γεωμετρείν 31

Re: Γεωμετρείν 31

Re: Γεωμετρείν 31

Re: Γεωμετρείν 31

Re: Γεωμετρείν 31

Re: Γεωμετρείν 31

Μέλη σε σύνδεση