Διάμεσος-διχοτόμος-παραλληλία

#1

: Δύο επώνυμες και μια ανώνυμη.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Τριγώνου

η διάμεσος

είναι κάθετη στη διχοτόμο

στο

.

Φέρνω την ευθεία

που τέμνει την

στο

.

Να δείξετε ότι ED//AC

.

Νίκος

#2

Από θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $\displaystyle{ABM}$ με τέμνουσα την $\displaystyle{EKC}$ έχουμε

$\displaystyle{\frac{BE}{EA}\cdot \frac{AC}{CM}\cdot \frac{MK}{KB}=1}$

και επειδή $\displaystyle{AC=2CM}$ και προφανώς $\displaystyle{MK=KB}$ , προκύπτει $\displaystyle{EA=2BE.}$

Επίσης είναι φανερά $\displaystyle{b=2c.}$

Επομένως είναι

$\displaystyle{\frac{BD}{DC}\stackrel{\text{\gr θεώρημα διχοτόμου}}{=}\frac{c}{b}=\frac{1}{2}=\frac{BE}{EA}.}$

Από το αντίστροφου του θεωρήματος του Θαλή προκύπτει το ζητούμενο.

#3

Νίκο, Θάνο καλησπέρα.
Νομίζω αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η ζητούμενη παραλληλία ισχύει για οποιοδήποτε σημείο

της διαμέσου

οποιουδήποτε τριγώνου ABC

.
Μία απόδειξη:
Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

. Από τις παραλληλίες που προκύπτουν στο παραλληλόγραμμο AKCK'

, έχουμε τις αναλογίες: $\displaystyle{\frac{BE}{BA}=\frac{BK}{BK'}=\frac{BD}{BC}}$ και έχουμε τελειώσει.

#4

Doloros έγραψε:Τριγώνου η διάμεσος είναι κάθετη στη διχοτόμο στο . Φέρνω την ευθεία που τέμνει την στο .Να δείξετε ότι .
Νίκος

Όπως αναφέρει ο Ανδρέας (αμέσως πριν) το πρόβλημα συνεχίζει να ισχύει για τυχόν τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τυχόν σημείο της διαμέσου του .
Ας δούμε εναλλακτικά δύο ακόμα προσεγγίσεις.

1η Λύση

Από το Θεώρημα του Ceva για τις σεβιανές συντρέχουσες στο θα ισχύει: $\dfrac{{\left( {AM} \right)}}{{\left( {MC} \right)}} \cdot \dfrac{{\left( {CD} \right)}}{{\left( {DB} \right)}} \cdot \dfrac{{\left( {BE} \right)}}{{\left( {EA} \right)}} = 1\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {AM} \right) = \left( {MC} \right)}$ $\boxed{\frac{{\left( {CD} \right)}}{{\left( {DB} \right)}} = \frac{{\left( {EA} \right)}}{{\left( {BE} \right)}}}:\left( 1 \right)$ .

Από την $\left( 1 \right)$ σύμφωνα με το αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή προκύπτει $\boxed{ED\parallel AC}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

: 1.png (16.58 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές

2η Λύση

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις

άλλες δύο διαγωνίους του) άρα και η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της $AC \Rightarrow ED\parallel AC$ και το ζητούμενο έχει αποδειθχεί.

Στάθης

Διάμεσος-διχοτόμος-παραλληλία

Διάμεσος-διχοτόμος-παραλληλία

Re: Διάμεσος-διχοτόμος-παραλληλία

Re: Διάμεσος-διχοτόμος-παραλληλία

Re: Διάμεσος-διχοτόμος-παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση