Ανισότητα με άθροισμα 3

G.Bas · #1

Μια απογευματική κατασκευή

.

Αν

και

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα

τότε να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{3}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 4.}$

#2

G.Bas έγραψε:Μια απογευματική κατασκευή .

Αν και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα τότε να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{3}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 4.}$

Από ΑΜ-ΓΜ

$\displaystyle{\frac{3}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 4\sqrt[4]{\frac{3}{(a^2+b^2+c^2)(abc)^2}}}$

άρα αρκεί

$\displaystyle{3\geq (a^2+b^2+c^2)(abc)^2.}$

Μάλιστα, επειδή είναι $\displaystyle{abc\leq \Big(\frac{a+b+c}{3}\Big)^3=1,}$ αρκεί

$\displaystyle{3\geq abc(a^2+b^2+c^2).}$

Όμως είναι

$\displaystyle{(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)\implies abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{9}}$

άρα αρκεί

$\displaystyle{27\geq (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2.}$

Αυτή είναι συνέπεια της ΑΜ-ΓΜ:

$\displaystyle{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\leq \Big(\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca}{3}\Big)^3=\Big(\frac{(a+b+c)^2}{3}\Big)^3=27.}$

Ανισότητα με άθροισμα 3

Ανισότητα με άθροισμα 3

Re: Ανισότητα με άθροισμα 3

Μέλη σε σύνδεση