Συνδυαστική Γεωμετρία

#1

Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός χωρίων που μπορούν να δημιουργηθούν από

κύκλους στο επίπεδο. (Ακολούθως, ας απαντηθεί και αυτό το θέμα.)

#2

Ο μέγιστος αριθμός χωρίων στα οποία διαιρείται το επίπεδο από

κύκλους προκύπτει όταν ανά δύο οι κύκλοι τέμνονται και ανά τρεις δε διέρχονται από το ίδιο σημείο. Έστω a_n

ο αριθμός αυτός.

Υποθέτουμε ότι έχουμε σχεδιάσει

κύκλους $\displaystyle{{C_1},{C_2}, \ldots ,{C_k}}$ στο επίπεδο, όπως παραπάνω. Ο $\displaystyle{\left( {k + 1} \right) - }$ στός κύκλος $\displaystyle{{C_{k + 1}}}$ τέμνει καθέναν από τους κύκλους $\displaystyle{{C_1},{C_2}, \ldots ,{C_k}}$ σε

σημεία. Τα

αυτά σημεία χωρίζουν τον κύκλο $\displaystyle{{C_{k + 1}}}$ σε

τόξα. Καθένα από τα τόξα αυτά χωρίζει ένα από τα χωρία που δημιουργούν οι κύκλοι $\displaystyle{{C_1},{C_2}, \ldots ,{C_k}}$ σε δύο μέρη. Επομένως, σχεδιάζοντας τον $\displaystyle{{C_{k + 1}}}$ , αυξάνουμε τον αριθμό των χωρίων που διαιρείται το επίπεδο κατά

.
Με άλλα λόγια, έχουμε ότι

$\displaystyle{{a_{k + 1}} = {a_k} + 2k}$

για κάθε θετικό ακέραιο

. Επειδή προφανώς $\displaystyle{{a_1} = 2}$ , είναι:

$\displaystyle{{a_n} = \left( {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right) + \left( {{a_{n - 1}} - {a_{n - 2}}} \right) + \cdots + \left( {{a_3} - {a_2}} \right) + \left( {{a_2} - {a_1}} \right) + {a_1} = }$

$\displaystyle{ = 2\left( {n - 1} \right) + 2\left( {n - 2} \right) + \cdots + 4 + 2 + 2 = 2\left[ {1 + 2 + \cdots + \left( {n - 1} \right)} \right] + 2 = }$

$\displaystyle{ = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 2 = {n^2} - n + 2,}$

δηλαδή $\displaystyle{\boxed{{a_n} = {n^2} - n + 2}}$ για κάθε θετικό ακέραιο

.

Συνδυαστική Γεωμετρία

Συνδυαστική Γεωμετρία

Re: Συνδυαστική Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση