Ορθή σκέψη.png . Στις παράλληλες ευθείες $\varepsilon,\varepsilon'$ θεωρούμε σημεία $A,B$ . Η μεσοκάθετη του $AB$ , τέμνει την $\varepsilon$ στο $O$ . Ο κύκλος $(O,OA)$ τέμνει την $\varepsilon'$ στα σημεία $B$ και $S$ . Ο κύκλος $(O,A,S)$ , τέμνει την $AB$ στο σημείο $P$ . Δείξτε ότι : $AS\perp SP$...

Άσκηση 5 . Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ \frac {n(n+1)}{2n-1} \right ]= \frac {n+1}{2}}$ για $n\in \mathbb N$ Δεν θα έπρεπε όμως να εξασφαλίσουμε πως το $\dfrac{n+1}{2}$ είναι ακέραιος; Για παράδειγμα για $n=2$ προκύπτει $2=\dfrac{3}{2}$ :? . Συνεπώς πρέπει να προσθέσουμε ότι ο $n$ είναι περιτ...

Δύο απλές: Άσκηση 4 . Δείξτε ότι $\displaystyle{ \left [ {\underset{2N}{\sqrt{\underbrace{444...44}}}} \right ]= \underset{N}{\underbrace{666...66}} }$ Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους! Γενικά ισχύει: $\underset{N}{\underbrace{aaa...aa}}=\dfrac {a(10^N-1)}{9}$ Αρκεί: $\dfrac {6(10^N-1)}{9}\leq \...

Παραμένουν άλυτα τα NT1, NT3, NT5. Έχω λύση για το τελευταίο (αρκετά σύνθετη, λόγω πολλών περιπτώσεων) όποτε θα περιμένω μέχρι αύριο για να την ανεβάσω.

.

Ένας α π ί σ τ ε υ τ ο ς αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος της μορφής: $2^{a_1}+2^{a_2}+ \cdots+ 2^{a_{100}},$ με $a_1,a_2, \cdots, a_{100}$ μη αρνητικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς. Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο $n$ του οποίου τα πολλαπλάσια δεν είναι α π ί σ τ ε υ τ ο ι αρ...

Το $S$ είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε: (α) $2 \in S$ (β) Αν $n^2 \in S$ τότε $n \in S$, και (γ) Αν $n \in S$ τότε $(n+5)^2 \in S$. Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο $S$ (Το σύνολο $S$ είναι το «μικρότερο» με την έννοια ότι περιέχεται σε οποιοδήποτε άλλο σύνολ...

Έστω $P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$. Αν το $P$ είναι σταθερό τότε θα είναι $P(x)=0,1$ για κάθε $x$. Aν το $P$ δεν είναι σταθερό τότε συγκρίνοντας τους συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων των δύο μελών έχουμε: $a_n=a_n^2$ άρα (αφού $a_n ≠0$) το $P$ είναι μονικό. Εστω $a_i$ ο συντελεστής του αμέσως επόμεν...

Οι επίσημες λύσεις:

http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... lution.pdf

Τι έχετε να πείτε για το γεγονός ότι χτες το βράδυ είχαν αναρτηθεί κάπως τα θέματα;; Τα βρήκα ψάχνοντας σήμερα τις λύσεις και βρήκα ένα δημοσίευμα χτεσινό που είχε τα θέματα Κατά την γνώμη μου τραγικό και απολύτως άδικο http://lisari.blogspot.gr/2017/11/2018.html?m=1 Τα θέματα αναρτήθηκαν σήμερα κα...

Μερικές εξισώσεις για τον "Θαλή". 1. $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}} + \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+5}}+ \cdots +\dfrac{1}{\sqrt{x+2015}+\sqrt{x+2017}} = 1$ Κάνουμε ρητούς τους πανομαστές και έχουμε: $\dfrac {\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}}{2}+\dfrac {\sqrt{x+5}-\sqrt{x+3}}{2}+...+\dfrac {\sqrt{x+2017}-\s...

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον αριθμό $\displaystyle{X=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{10}}$ οπότε από την ταυτότητα $\displaystyle{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c)=a^3+b^3+c^3-3abc}$ το κλάσμα γράφεται $\displaystyle{\frac{X}{2+3+5-3\sqrt[3]{30...

Να μετατραπεί το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

Να ευχηθώ και εγώ με την σειρά μου Χρόνια Πολλά σε όλους του εορτάζοντες και ιδιαιτερα στον κύριο Δημήτρη Ιωάννου, τον κύριο Δημήτη Χριστοφίδη και στον κύριο Δημήτρη Σκουτέρη.

Να κάνω και εγώ μια τελευταιά μαντεψιά, βασισμένη σε μια παρατήρηση πάνω στο πρόβλημα.

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ

Αν θετικός ακέραιος και με τότε:

Σήμερα σας προτείνω το θέμα 146 από το αρχείο του Θάνου.Το έλυσα την Τρίτη το πρωί σε ένα κενό στο σχολείο... Αν $x,y> 0$ με $x^{2}+y^{2}=1$ , αποδείξτε ότι $x^{3}+y^{3}\geq \sqrt{2}xy.$ Καλησπέρα σας! Είναι $LHS = (x+y)(x^2+y^2-xy)=(x+y)(1-xy)=x+y-x^2y-xy^2$. Αρα αρκεί μετά από παραγοντοποίηση $\d...

Ακριβώς!

Μια προσωπική κατασκευή...

Δίνεται κύκλος και κύκλος που τέμνει τον C στα . Οι εφαπτομένες του C στα σημεία αυτά τέμνουν τον στα . Να αποδείξετε οτι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και ο C εφάπτονται στο Β.