Ακριβώς πέντε.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου $AB=8$ να εντοπίσετε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε για την απόσταση του $A$ από το μέσο $M$ της χορδής $BS$ , να προκύπτει : $AM=5$ . Έστω $AS=x$ τότε απο το Θ.διαμέσων στο τρίγωνο $ASB,x^{2}+8^{2}=2.5^{2}+\dfrac{SB^{2}}{2},SB^{2}=64-x^{2}\Rightarrow x=2\sqrt{3}$

Απολαυστική ισότητα.pngΕξηγήστε γιατί οι γωνίες $\phi$ και $\theta$ στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος είναι ίσες . Έστω $SM=MT$ τότε το τετράπλευρο $ASCT$ είναι παραλληλόγραμμο και $\hat{SAC}=\hat{ACT}=\hat{ABM}$ και το τετράπλευρο $ABCT$ είναι εγγράψιμο άρα $\hat{CAT}=\hat{TBC}$

Δύσκολη εμβαδομέτρηση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , με : $AB=AC=4$ , προεκτείνω την πλευρά $AC$ κατά τμήμα $CD$ και ονομάζω $M$ το μέσο της $BD$ . Η $AM$ τέμνει την $BC$ στο σημείο $S$ . Αν : $CD=8$ υπολογίστε το $(ABS)$ . Κάντε το ίδιο για οποιοδήποτε μήκος του $CD$ . Στο ορθογώνιο και ισοσκελέ...

Τριχοτόμηση διαμέσου.png Τριγώνου $\vartriangle ABC$ είναι , $BC = 10\,\,,\,\,CA = 13\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 5$. Η διάμεσός του $AM$ τέμνει τον εγγεγραμμένο του κύκλο στα σημεία , $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ με το $D$ ανάμεσα στα $A\,\,,\,\,E$. α) Δείξετε ότι $AD = DE = EM$. β) Ας είν...

diamesolavisi.png Η εσωτερική και η εξωτερική γωνία στο σημείο $C$ ενός τριγώνου $ABC$ διχοτομούνται από τις $CD$ και $CF$, οι οποίες τέμνουν την $AB$ και την προέκταση της $BA$ στα σημεία $D$ και $F$ αντίστοιχα. Από το σημείο $D$ φέρνουμε ευθεία $DR$ παράλληλη στην $BC$, η οποία τέμνει την $AC$ στ...

Έστω το ευθύγραμμο τμήμα ,$AB = b$. Προεκτείνω το $AB$ πέραν του $B$ και παίρνω σημείο $C$ , καθώς και πέραν του $A$ και παίρνω σημείο $D$ έτσι ώστε : $AC = BD = a$. Με κέντρα τα $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ κι ακτίνα $a$ , γράφω κύκλους που τέμνονται στο $O$. Να δειχθεί ότι καθένα από τα ευθύγ...

Έστω , $\vartriangle ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $O$. Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,C$ τέμνονται στο σημείο $P$. Από το $P$ φέρνουμε $PE\,\,,\,\,PZ$ κάθετες στις ευθείες $AB\,\,,\,\,AC$ αντίστοιχα . Να δειχθεί ότι η διάμεσος $AM$ του $\vartriangle ABC$ , είναι κάθετη ...

Αδικη διάμεσος.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών $BA , BC$ του - πλευράς $5$ - ισοπλεύρου τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε σημεία $D , E$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε : $AD=3 , CE=7$ . Αν $M$ το μέσο της $DE$ και η $BM$ τέμνει την $AC$ στο σημείο $S$ , υπολογίστε το τμήμα $AS$ . Έστω ότι $MP//DT,TP=PE=2,LT//SC\...

Ισότητα αθροισμάτων.pngΣτις πλευρές $Ox , Oy$ , της ορθής γωνίας $\hat{O}$ , θεωρούμε τυχόντα σημεία $A , B $ και $C , D$ αντίστοιχα . Δείξτε ότι : $AC^2+BD^2=AD^2+BC^2$ . Αν δυσκολεύεστε , χρησιμοποιήστε συντεταγμένες . Τα σημεία $M,L,N,P$ είναι τα μέσα των υποτεινουσών στα ορθογώνια τρίγωνα $OCA,...

Ανομοιογενής ισότητα.pngΣε έναν κύκλο , το $M$ είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το $S$ είναι τυχόν σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$ Έστω $AB//SP,BX\perp SP,MG\perp SP$ Τα ορθογώνια τρίγωνα $S\Pi B,BXP$ είναι...

Ίσα τμήματα , ίσες γωνίες.pngΤα τμήματα $AB , BC , CD $ είναι ίσα . Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ και τον κύκλο $(D , DC)$ . Ευθεία διερχόμενη από το $A$ , τέμνει το ημικύκλιο στα $P , Q$ και τον κύκλο στα $S , T$ . Δείξτε ότι : $\widehat{PCQ}=\widehat{SCT}$ . Έστω $OM\perp AT,D\Theta \perp AT,...

Εστω τρίγωνο $ABC$ και $K$ σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του.Να δείξετε ότι τα ορθόκεντρα των τριγώνων $KAB,KBC,KAC$ σχηματίζουν τρίγωνο που έχει εμβαδό ίσο με του αρχικού τριγώνου. Eστω $H1,H2,H3,H $ τα ορθόκεντρα των τριγώνων $KAB,KBC,KAC,ABC$ αντίστοιχα. Εφόσον $AH1\perp KB,H2C\perp KB$ θα ε...

Αγαστή συνευθειακότητα.pngΣτην πλευρά $BC$ του - διαστάσεων $3 \times 4$ - ορθογωνίου $ABCD$ κινείται σημείο $S$ . Η κάθετη της $AS$ στο $S$ , τέμνει την προέκταση της $AD$ στο σημείο $T$ , ενώ η $TC$ τέμνει την προέκταση της $AB$ στο $P$ . Υπολογίστε το τμήμα $BS=x$ , αν η $PS$ διέρχεται από την κ...

Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.pngΑπό σημείο $S$ της προέκτασης της διαμέτρου $AB=2r$ ενός κύκλου , φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . Για ποια θέση του $S$ , είναι : $ST=2TB$ ; Εστω $TB=y,ST^{2}=SB.SA,4y^{2}=x(x+2r),(1)$, Για τις γωνίες από χορδή και εφαπτομένη και ισότητα γωνιών σε ορθογώνιο τρίγω...

Δίνεται τετράγωνο $ ABCD$ και σημείο $K$ στο εσωτερικό του . Αν είναι $KA=5,KB=3,KC=7$ να δειχθεί ότι οι $KB$ ,$KC$ είναι κάθετες. Έστω $TP//AB,MN//AD,BP=x,MB=y$ Από τα ορθογώνια τρίγωνα $KBP,KPC,AKM,x^{2}+y^{2}=9,(1), 49=(a-x)^{2}+y^{2},(2),25=x^{2}+(a-y)^{2},(3) (1),(2),(3)\Rightarrow x=\dfrac{a^...

Δίνεται το τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ πλευράς $\displaystyle{AB=a}$. Στις προεκτάσεις των τμημάτων $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{AC}$ θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία $\displaystyle{S,T}$ έτσι ώστε να ισχύει: $\displaystyle{\frac{BS}{CT}=\sqrt{2} }$ Τ.μ 1.png Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\...

Το εμβαδόν ως πηλίκο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , τα σημεία $M , N , L$ είναι τα μέσα των $ BC , AB , AM$ , αντίστοιχα . Παρατηρήσαμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $NLC$ ισούται αριθμητικά με : $\dfrac{b}{c}$ .Υπολογίστε την πλευρά $c$ . $(ANC)=\dfrac{1}{2}(ABC)=\dfrac{1}{4}bc (1),(ANL)=\dfrac{1}...

Τετράγωνο μυαλό.png$\bigstar$ Προεκτείνω την πλευρά $AB$ , ενός τετραγώνου $ABCD$ , κατά τμήμα $BS$ , ίσο με την διαγώνιο $AC$ και την διαγώνιο $AC$ κατά τμήμα $CT$ , ίσο με την πλευρά $AB$ . Δείξτε ότι τα τμήματα $ST , DT$ είναι ίσα και κάθετα . ( Κατάλληλη για όλους ! ) Τα τρίγωνα $DCT,DBS$ είναι...

Διπλοκάθετες.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^\circ),$ είναι $M, N$ τα μέσα των $BC, AC$ αντίστοιχα και $D$ το μέσο του $AN.$ Αν $DM\bot BC,$ να δείξετε ότι $AM\bot BN.$ Το τρίγωνο $BDC,BD=DC$ είναι ισοσκελές . Το τετράπλευρο $ADMB$ είναι εγγράψιμο οπότε $\hat{BDM}=\hat{\hat{MDC}}=\hat{A...

Διπλή χαρά.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με γνωστές τις κάθετες πλευρές $b , c , (b>c)$ , σε σημείο $S$ της $AC$ , υψώνουμε κάθετη , η οποία τέμνει την υποτείνουσα $BC$ στο $P$ και την κάθετη προς την υποτείνουσα στο $B$ , στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $AS$ , ώστε να είναι : $PT=2SP$ . Από ...