Είσαι απίστευτος συνάδελφε Μιχάλη! Ευχαριστώ πολύ!

Τὠρα το είδα κ. Γιώργο! Πολύ ωραία! Ευχαριστώ!

Κύριε Γιώργο, αυτό ήταν το πρώτο συμπέρασμα που έβγαλα κι εγώ κι έπεσα στην παγίδα!

Γραφικά, όμως , δεν μπορώ να καταλάβω αυτόν τον περιορισμό , τον

Επιπλέον, παρατηρούμε ότι το κέντρο του κύκλου είναι σταθερό για κάθε τιμή του .

Συνεχίζουμε...

Ο κανόνας προσήμων Descartes υπόσχεται πολλά όσο αναφορά την αναλυτική αντιμετώπιση με αφορμή την απλή σκέψη ότι

τα τρία ακρότατα πρέπει να είναι διαδοχικά ετερόσημα ή στην περίπτωση του για , το μεσαίο να είναι μηδέν και τα

ακριανά αρνητικά.

Ωραία, ιδέα! Δεν την είχα υπόψη! Θα μελετήσω τις περιπτώσεις! Ευχαριστώ πολύ!

Ευχαριστώ για τις ιδέες σας. Θα τις επεξεργαστώ αναλυτικά.

Το χωρισμό λόγω συμμετρίας τον είχα σκεφτεί αλλά είχα φτάσει σε αδιέξοδα. Την αρχική σκέψη του κ. Κουτσουρίδη δεν την είχα σκεφτεί, δηλαδή

αν οι κορυφές παίζουν ρόλο στο πλήθος των ριζών.

Το άθροισμα των ριζών του κ. Παπαπέτρου μου έδωσε ...

Καλησπέρα σας και ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση.

Όσα προαναφέρατε τα έχω εξάγει και εγώ αλλά με προβληματίζει το γεγονός ότι και να βγάλουμε συνθήκη για τρία ακρότατα δε σημαίνει απαραίτητα

ότι έχει και 4 ρίζες η πολυωνυμική συνάρτηση 4ου βαθμού αλλά πιθανώς να έχει διότι το ακρότατο μπορεί ...

Να βρείτε τις τιμές του ώστε οι παραβολές και

να έχουν 4 σημεία τομής.

Γραφικά παρατηρούμε ότι αυτό συμβαίνει για . Δεν έχω καταφέρει να το αποδείξω αναλυτικά.

https://www.desmos.com/calculator/7n2kodqvjo

Μία λύση για το 1.

Αρχικά με μετρικές σχέσεις θα αποδείξω ότι τα ύψη $AD$ και $A'D'$ είναι ίσα αν οι γωνίες $\hat{A}$ και $\hat{A'}$ δεν είναι ορθές. Στη συνέχεια με απλές συγκρίσεις τριγώνων καταλήγω στην τελική ισότητα των δύο τριγώνων.

Από το θεώρημα των διαμέσων (Β' Λυκείου) ισχύει $m_a^2 = m ...

1. Τα τρίγωνα και έχουν , και ίσες διαμέσους . Είναι ίσα;

2. Τα τρίγωνα και έχουν , και ίσες διαμέσους . Είναι ίσα;

Σε κάθε περίπτωση, αν δεν είναι ίσα, δώστε αντιπαράδειγμα.

Περίφημα!

Οπότε έχουμε:

Δύο τρίγωνα που έχουν και τις διαμέσους και είναι ίσα.

george visvikis έγραψε: Πέμ Νοέμ 21, 2019 5:44 pm
Στο σχήμα τα τρίγωνα έχουν κοινή τη γωνία της κορυφής και είναι αλλά

Αν οι γωνίες και είναι αμβλείες , δημιουργείται πάλι πρόβλημα στη συλλογιστική μου?

Ευχαριστώ.

Ευχαριστώ πολύ κ. Γιώργο! Με έφαγε η διαίσθηση!

Την άσκηση αυτή τη σκεφτήκατε με βάση την ειδική περίπτωση που είχα βάλει με τις δοσμένες γωνίες ορθές?

Υπάρχει άραγε άλλη ειδική περίπτωση γωνιών που να ισχύει το κριτήριο?

Ευχαριστώ.

Καλησπέρα!

Οι αυθεντίες τις γεωμετρίας κ. Νίκος και κ. Γιώργος κατατρόπωσαν την ιδέα μου! :-)

Την παραθέτω , όμως , παρακάτω , για να βρούμε διδακτικά που κρύβεται η παγίδα.

Έστω $G$ και $G'$ τα βαρύκεντρα των τριγώνων $ABC$ και $A'Β'C'$ αντίστοιχα.

Υποθέτουμε ότι $BC < B'C'$.

Τότε με χρήση ...

Καλημέρα κ. Γιώργο.

Η βασική ιδέα είναι να υποθέσω ότι $BC < B'C'$ και να καταλήξω σε άτοπο με χρήση του θεωρήματος βαρυκέντρου αλλά και της εφαρμογής του σχολικού βιβλίου γεωμετρίας "Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές τους είναι ...

Καλησπέρα!

Ευχαριστώ για τις επιπλέον ιδέες - λύσεις!

Κ. Δημήτρη κι εγώ έφτασα σε παρόμοια σχέση από το τύπο της διχοτόμου αλλά δεν κατάφερα να το ολοκληρώσω.

Προσπαθώ κι εγώ και προσδοκώ εν καιρώ μία καθαρά συνθετική λύση!

Συνεχίζουμε...

Υ.Γ. Αν κάποιος συνάδελφος έχει δει ξανά το θέμα σε ...

Καλησπέρα κ. Βισβίκη και κ. Ρίζο.

Σας ευχαριστώ πολύ για τις ιδέες σας.

Τον τελευταίο καιρό πειραματίζομαι με όλες τις περιπτώσεις κριτηρίων ισότητας (ορθογωνίων) τριγώνων, συνδυάζοντας όλες τις περιπτώσεις πρωτευόντων και δευτερευόντων στοιχείων του τριγώνου. Άλλες βγήκαν εύκολα, άλλες δύσκολα ...

Και άλλη μία

Δύο ορθογώνια τρίγωνα τα οποία έχουν ίσες μια προς μια τις διαμέσους τους προς τις κάθετες πλευρές τους , είναι ίσα;

Διόρθωση. Οι ίσες γωνίες πρέπει να είναι και αμβλείες.

Άρα η διατύπωση γίνεται

Αν δύο αμβλυγώνια τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αμβλείες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα.

Μόλις βρήκα και αυτό το σύνδεσμο: https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/SSA.shtml