Από την ανισότητα $4\sqrt{ac}\leq 2\left | b \right |$ έχουμε ότι η διακρίνουσα είναι μη αρνητική. Άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. Επιπλέον $3\left | a \right |+\left | c \right |-\left | \left | a \right |-\left | c \right | \right |\leq 2(\left | a \right |+\left | c \right |)$ Άρα $\left | ...

Ως μαθητής μου επιτρέπεται να αναρτήσω λύση. Η απάντηση είναι $\dfrac{9}{10}$, αλλά γενικότερα ο ζητούμενος λόγος είναι $\dfrac{\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}+1}$ όπου $\lambda =\dfrac{AB}{AE}$ Απόδειξη: Από νόμο ημιτόνων και αξιοποιώντας ότι $\widehat{A}=90^{\circ}$ έχουμε $R_{\pi }=\dfrac{EB}{2sin\wid...

Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε $f(x)=y$ οπότε: $\dfrac{dy}{dx}+2xy^{2}=0$ $2xy^{2}dx+dy=0$ Που είναι της μορφής $Pdx+Qdy=0$ Έστω συνάρτηση $\mu$ ώστε $\dfrac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\dfrac{\partial (\mu Q)}{\partial x}$ Εφόσον η συνάρτηση $\dfrac{Q_{x}-P_{y}}{P}$ εξαρτάται μόνο από τ...

Ο γεωμετρικός τόπος που αναφέρεται θα είναι μία έλλειψη, όπου $a=\dfrac{MP+MR}{2}=5$ $b=c=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{PR}{2} \right )^{2}}=4$ Άρα η έλλειψη εκφράζεται μέσω της συνάρτησης: $f(x,y,z)=\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}+\dfrac{z^{2}}{16}=1$ Παρατηρούμε για το σημείο $K$ ότι $\nabla f(x_{...

Αν $A_{k}=\left \{a_{\pi_{k} (1)},...,a_{\pi_{k} (n)} \right\}$ είναι αναδιάταξη του συνόλου $A={\left \{ a_{1},...,a_{n} \right \}$ με κάθε όρο να είναι θετικός τότε να δειχθεί ότι $\sum_{m=1}^{n}\left ( \dfrac{\sum_{i=1}^{w}\prod_{t=c_{i}}^{j+c_{i}}a_{\pi _{t}(m)}}{w\prod_{k=0}^{j}a_{\pi _{k}(m)}}...

Αποδεικνύεται ότι το $MN$ είναι παράλληλο στο $BD$ Για να προκύψει το παραπάνω θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα $SQ$ παράλληλο και ίσο με το $BD$ Τα τρίγωνα $ABD$ και $QSC$ είναι ίσα, αφού έχουν τις χρωματισμένες πλευρές ίσες και η περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες, αφού $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\wideh...

:santalogo: Καλά Χριστούγεννα! Επειδή δεν έχει αναρτηθεί κάποια λύση θα μου επιτρέψετε να δημοσιεύσω την δική μου. Αφού η AD είναι διχοτόμος της $\widehat{QAP}$ και κάθετη στην BC τότε $AQ=AP$ Οπότε θα ισχύει πως $\widehat{HPB} = \widehat{HQC}$ άρα $HB=HC$ αφού από υπόθεση οι κύκλοι $c_{1}, c_{2}$ τ...

Για τα α), β) Έστω $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ τότε η η διαφορική εφίσωση γίνεται $\frac{x-1}{g^{2}(x)}+\frac{1}{g(x)}-\frac{g'(x)}{g^{2}(x)}=0$ $g'(x)=g(x)+x-1$ (1) Αρκεί να υπάρχει σταθερά c ώστε $g(x)=ce^{x}-x$ (2) Αρκεί, από (1), $ce^{x}-1=x-1+ce^{x}-x$ , που ισχύει Οπότε $f(x)=\frac{1}{ce^{x}-x}$, απ...

Θεωρούμε την εξωτερική διχοτόμο SC, οπότε $(C,Q,A,B)=-1$ Από την στιγμή που η διχοτόμος SQ είναι σταθερή, τότε και η εξωτερική θα είναι σταθερή ευθεία, άρα το C είναι σταθερό σημείο. Είναι, λοιπόν, γνωστό πως θα ισχύει $OA\cdot OB = OQ^{2}$ Όπου το O είναι το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα S...

Επαναφορά!

Βλέποντας τα θέματα παρατηρώ ότι το πρόβλημα 2 της Β' Λυκείου λύνεται γρήγορα, αλλά με χρήση συμβόλου Legendre. Αφού 2023=πολ7 τότε $2023\cdot 10^{n}+6\equiv -1mod7$ Άρα πρέπει να υπάρχει α με $a^{2}\equiv -1mod7$ Άτοπο αφού το -1 δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο του 7. Όντως $\left ( \frac{-1}{7} \r...

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑

Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:43 pm

Στο θέμα 2 Α λυκείου αν θυμάμαι καλά οι παραστάσεις επαληθεύονται για y =-1 και χ=1 ή χ=3 σωστά;

Ακριβώς

Για το τέταρτο θέμα θα αποδείξουμε ότι ΕΖ = ΖΓ
Παραθέτω το σχήμα μου για βοήθεια.

Στην ουσία προσωπίκα πήρα περίπτωση για n =0 όπου Α=2024 ο οποιος δεν είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού. Και μέτα είπα πως στην ουσια για οποιαδήποτε τιμή του n o Α θα είναι πάντα περιττός. Άρα δεν υπάρχει τέτοιος n.( Δεν γνωρίζω καν αν είναι σωστός ο συλογισμός μου απλως τον παραθέτω με λίγα λόγια)...

Έστω τρίγωνο ABC και D σημείο που κινείται στην ευθεία της διχοτόμου της γωνίας Α. Η κάθετη ευθεία στην διχοτόμο που διέρχεται από το D τέμνει τις AB, AC στα P, Q αντίστοιχα.Έστω Η το σημείο του φορέα της PQ με την ιδιότητα οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των BPH και CQH να είναι ίσοι. Έστω R το δεύτερο σ...

Τρία σημεία S, T, Q είναι σταθερά στο επίπεδο με .

Δύο σημεία A, B κινούνται στον φορέα του QT με .

Αν υπάρχουν A, B με και
να εξεταστεί αν αυτά είναι τα μοναδικά που έχουν τις παραπάνω ιδιότητες.

Για απλοποίηση θέτω ότι $y = x^{10}$ Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η $f(y)=y^{\frac{11}{10}}$ $f(y)=\sqrt[10]{y^{11}}$ Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληρ οί τις προϋποθέσεις. Πάνω στην βιασύνη μου είπα ότι είναι σωστή. Σωτήρη, ...

Για απλοποίηση θέτω ότι

Οπότε προκύπτει ότι αν υπάρχει η ζητούμενη f, αυτή θα είναι η


Για κάθε πραγματικό y<0 τότε η f δεν ανήκει στους πραγματικούς, άρα δεν πληροί τις προϋποθέσεις.

Στο σχήμα που ακολουθεί το Q είναι η τομή του SP με τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC. Όμως αφού AQ κάθετη στην PQ (βαίνει σε ημικύκλιο), τότε τα A, Q, D, P, E, O_1 είναι ομοκυκλικά. Για να διέρχεται η PT από το σταθερό σημείο S, αρκεί οι ED, AQ να είναι παράλληλες. Τότε το T θα ανήκει στην PQ, άρα κ...

Ίσως αυτή η απάντηση είναι αρκετά τραβηγμένη από την προσδοκούσα. Θεωρώ το κέντρο του ημικύκλιου ως την αρχή των αξόνων και τον φορέα του AB ως τον άξονα x. Οι συντεταγμένες των σημείων γίνονται $S(1,0), P(p_{1},p_{2}), T(t_{1},t_{2})$ Από την παραλληλία της χορδής προς την περίμετρο προκύπτει ότι: ...