Από την εστία

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Από την εστία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 11, 2024 6:23 pm

Από την εστία.png
Από την εστία.png (24.2 KiB) Προβλήθηκε 366 φορές
Οι εφαπτόμενες στα σημεία A, B μιας παραβολής τέμνονται στο S, ενώ οι εφαπτόμενες στα A, B του κύκλου που

διέρχεται από τα σημεία A, B, S τέμνονται στο T. Να δείξετε ότι η ST διέρχεται από την εστία E της παραβολής.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1797
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Από την εστία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Δευ Φεβ 12, 2024 2:09 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 11, 2024 6:23 pm
Από την εστία.png
Οι εφαπτόμενες στα σημεία A, B μιας παραβολής τέμνονται στο S, ενώ οι εφαπτόμενες στα A, B του κύκλου που

διέρχεται από τα σημεία A, B, S τέμνονται στο T. Να δείξετε ότι η ST διέρχεται από την εστία E της παραβολής.
Έστω A' και B' οι προβολές των σημείων A και B αντίστοιχα στην διευθετούσα d της παραβολής. Τότε τα σημεία A', B', E βρίσκονται σε κύκλο κέντρου S. Πράγματι από την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής η ευθεία AS είναι μεσοκάθετη του τμήματος A'E. Άρα θα ιχύει SA'=SE. Ομοίως ιχύει SE=SB', που αποδεικνύει την ζητούμενη ιδιότητα.

Εφόσον τα σημεία A', B', E βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο το S θα ισχύει, \angle A'B'E = \dfrac{1}{2} \angle A'SE=\angle ASE.

Έστω l η κάθετη προς την διευθετούσα που διέρχεται από το S, τότε η γωνία μεταξύ της l και της ευθείας SB είναι ίση με την γωνία μεταξύ των ευθειών B'E και A'B', αφού l \perp A'B' και EB' \perp SB. Επειδή l || BB', θα είναι \angle lSB = \angle SBB'=\angle SBE. Άρα \angle ASE=\angle SBE.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι \angle SAE=\angle BSE. Οπότε τα τρίγωνα ESA και EBS είναι όμοια. Οπότε ισχύει \angle SEA= \angle SEB, δηλαδή η ευθεία SE είναι διχοτόμος της γωνίας AEB.


Έστω O το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABS. Είναι

\angle AEB = 360^0-2\angle AES = 360^0-2 (180^0-\left ( \angle ASE+\angle EAS\right) )= 2(\angle ASE+\angle EAS) =

=2(\angle ASE+\angle ESB\)= =2 \angle  ASB = \angle AOB.

'Αρα τα σημεία A,E, O,B,T είναι ομοκυκλικά και εφόσον TA=TB, η ευθεία ET είναι διχοτόμος της γωνίας AEB.

Επομένως τα σημεία T, E και  S είναι συνευθειακά, που αποδεικνύει το ζητούμενο.


apo_thn_estia.png
apo_thn_estia.png (207.05 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1797
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Από την εστία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Φεβ 13, 2024 10:00 pm

Απλά να σημειώσουμε ότι η ιδίοτητα, η ευθεία που διέρχεται από την εστία (μία από τις εστίες) και το σημείο τομής εφαπτομένων από δυο σημεία της παραβολής να είναι διχοτόμος της γωνίας που ορίζουν οι ευθείες που διέρχονται από αυτά τα σημεία και την εστία (μία από τις εστίες), ισχύει γενικά για κωνική.

apo_thn_estia_elleipsh.png
apo_thn_estia_elleipsh.png (123.13 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές
apo_thn_estia_ypervolh.png
apo_thn_estia_ypervolh.png (137.52 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13271
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από την εστία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Φεβ 16, 2024 11:13 am

george visvikis έγραψε:
Κυρ Φεβ 11, 2024 6:23 pm

Οι εφαπτόμενες στα σημεία A, B μιας παραβολής τέμνονται στο S, ενώ οι εφαπτόμενες στα A, B του κύκλου που

διέρχεται από τα σημεία A, B, S τέμνονται στο T. Να δείξετε ότι η ST διέρχεται από την εστία E της παραβολής.
Αφού ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο για τη λύση του, θα δώσω μία άλλη προσέγγιση.

Από την εκφώνηση προκύπτει ότι η ST (αρχικό σχήμα) είναι η ευθεία της S-συμμετροδιαμέσου του τριγώνου

SAB. Αν λοιπόν L είναι το σημείο τομής των SE, AB, αρκεί να δείξω ότι η SL είναι συμμετροδιάμεσος.
Από την εστία.β.png
Από την εστία.β.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Φέρνω από το S παράλληλη στον άξονα συμμετρίας της παραβολής που τέμνει την AB στο M. Θεωρείται γνωστό ότι τα

συμμετρικά F, G της εστίας E ως προς τις SA, SB βρίσκονται στη διευθετούσα (\delta) της παραβολής και οι AF,BG

είναι κάθετες στη (\delta). Είναι SF=SE=SG, άρα η SM είναι μεσοκάθετη του FG, οπότε το M θα είναι μέσο του

AB. Τέλος από το εγγράψιμο SDEC είναι E\widehat DC=E\widehat SC. Αλλά E\widehat DC=D\widehat SM ως οξείες με πλευρές κάθετες

και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες