Ώρα εφαπτομένης 159

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 153.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Η χορδή

είναι παράλληλη προς την διάμετρο AOB=10

του ημικυκλίου . Η

τέμνει

τον κύκλο (C , O , D )

στο σημείο

. Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας : $\widehat{COS}$ .

Henri van Aubel · #2

Είναι $\displaystyle 2\cos \angle OCD=\frac{8}{5}\Leftrightarrow \cos \angle OCD=\frac{4}{5}\Rightarrow \sin \angle OCD=\frac{3}{5}$

Όμως $\displaystyle \angle ABC=\frac{\angle OCD}{2}\Rightarrow \cos ^{2}\angle ABC=\frac{1+\cos \angle OCD}{2}=\frac{\displaystyle 1+\frac{4}{5}}{2}=\frac{9}{10}$

Είναι $\displaystyle 4\angle ABC< 180^\circ\Rightarrow \angle ABC< 45^\circ\Rightarrow \cos \angle ABC=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{BC}{10}$

Συνεπώς $\displaystyle BC=3\sqrt{10}\Rightarrow BS=\frac{BO^{2}}{BC}=\frac{25}{3\sqrt{10}}\Rightarrow CS=\frac{65}{3\sqrt{10}}$

Επομένως $\displaystyle \frac{CO}{CS}=\frac{\sin \left ( \angle ABC+\omega \right )}{\sin \omega }=\frac{3\sqrt{10}}{13}$

Όμως $\displaystyle \cos \angle ABC=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \sin \angle ABC=\frac{1}{\sqrt{10}}$

Οπότε $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}\tan \omega }+\frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{13}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{10}\tan \omega }=-\frac{9\sqrt{10}}{130}\Leftrightarrow \boxed{\tan \omega =-\frac{13}{9}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 26, 2023 11:26 am
Ώρα εφαπτομένης 153.pngΗ χορδή είναι παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου . Η τέμνει

τον κύκλο στο σημείο . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας : $\widehat{COS}$ .

Προφανώς οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με $\theta$ και από το ισοσκελές τραπέζιο ABDC

είναι

$\displaystyle AE = 1 \Leftrightarrow CE = 3 \Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{3}.$ Στο τρίγωνο COB

είναι:

: Εφ-159.png (18.3 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

$\displaystyle \tan \theta + \tan \theta + \tan (\omega + \theta ) = \tan \theta \cdot \tan \theta \cdot \tan (\omega + \theta ) \Leftrightarrow \frac{2}{3} + \tan (\omega + \theta ) = \frac{1}{9}\tan (\omega + \theta ) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tan (\omega + \theta ) = - \frac{3}{4},$ απ' όπου εύκολα πλέον $\boxed{\tan \omega = - \frac{{13}}{9}}$

Εναλλακτικά, α) $\displaystyle \omega + \theta = 180^\circ - C\widehat OE \Leftrightarrow \tan (\omega + \theta ) = - \frac{3}{4},$ κλπ.

β) $\displaystyle \tan \omega = \tan (180^\circ - 3\theta ) = - \tan 3\theta = - \frac{{3\tan \theta - {{\tan }^3}\theta }}{{1 - 3{{\tan }^2}\theta }} = - \frac{{13}}{9}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 26, 2023 11:26 am
Ώρα εφαπτομένης 153.pngΗ χορδή είναι παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου . Η τέμνει

τον κύκλο στο σημείο . Υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας : $\widehat{COS}$ .

Επειδή $\widehat {\theta _{}^{}} = \widehat {{a_3}}$ ( χορδής κι εφαπτομένης ) τελικά όλες οι κίτρινες γωνίες είναι ίσες και το τετράπλευρο TOBD

είναι εγγράψιμο.

Από το Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle ABC$ έχω $CA = \sqrt {1 \cdot 10} \, = DB$ . Επειδή στο $\vartriangle MCO$ η

είναι διχοτόμος θα είναι :

: Ωρα εφαπτομένης 153.png (33.45 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

$OT = 5k\,\,,\,\,TM = 4k \Rightarrow 9k = 3$ άρα , $OT = \dfrac{5}{3}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TM = \dfrac{4}{3}$ , ενώ Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MTD$ έχω: $TD = \dfrac{4}{3}\sqrt {10}$ .

Μετά απ’ αυτά: $\tan {a_1} = \dfrac{{MT}}{{MD}} = \dfrac{1}{3}\,\,,\,\,\tan {a_2} = \dfrac{{DB}}{{TD}} = \dfrac{4}{3}$ και άρα ,

$\tan \left( {{a_1} + {a_2}} \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4}}}{{1 - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{13}}{9} \Rightarrow \boxed{\tan \omega = - \dfrac{{13}}{9}}$

Ώρα εφαπτομένης 159

Ώρα εφαπτομένης 159

Re: Ώρα εφαπτομένης 159

Re: Ώρα εφαπτομένης 159

Re: Ώρα εφαπτομένης 159

Μέλη σε σύνδεση