Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Σάβ Μάιος 22, 2010 5:48 pm

Να δείξετε ότι ανάμεσα σε οποιουσδήποτε 19 διαδοχικούς φυσικούς υπάρχει ένας του οποίου το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 10.


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8313
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μάιος 29, 2010 1:03 pm

Την ξεχάσαμε την άσκηση. Δίνω μια υπόδειξη.
Έστω m το πρώτο πολλαπλάσιο του 10. Τι μπορείτε να πείτε για το άθροισμα των ψηφίων των m,m+1,\ldots,m+9;


johnyb98
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 11:34 am
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από johnyb98 » Τετ Ιουν 02, 2010 4:29 pm

Ας υποθέσουμε ανάμεσα στους 19 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς είναι x ο αριθμός του οποίου το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 10. Εάν α και β είναι τα ψηφία του κάθε αριθμού, άρα και του x, τότε για τον x ισχύει:

\frac{\alpha+\beta }{10}=k όπου k,\alpha ,\beta \in N

Σωστά ως εδώ;


Αν θέλεις να ζήσεις μιά ευτυχισμένη ζωή σύνδεσέ τη με ένα στόχο, όχι με πρόσωπα ή αντικείμενα.

Α. Αϊνστάιν
billy_scabilly
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 13, 2010 12:26 am

Re: Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από billy_scabilly » Τετ Ιουν 02, 2010 6:52 pm

Έστω α1,α2,..,α19 οι αριθμοί.Από τους αριθμούς α1 ως α10 ένας ακριβώς θα τελειώνει σε 0,εφόσον είναι διαδοχικοί.Τότε έστω αi ο αριθμός αυτός.Τότε οι επόμενοι 9 αριθμοί υπάρχουνε λόγω της υπόθεσης και επίσης το άθροισμα των ψηφίων του ai είναι κατά 1 μικρότερο από το άθροισμα των ψηφίων του αι +1,κλπ κλπ,του αi +8 μικρότερο κατά 1 από το άθροισμα των ψηφίων του αi +9 επειδή όλοι αυτοί οι αριθμοί βρίσκονται στην ίδια δεκάδα.Όμως τότε αναγκαστικά έχεις δέκα διαδοχικούς αριθμούς άρα τουλάχιστον ένας θα είναι πολλαπλάσιο του 10.


johnyb98
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 11:34 am
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από johnyb98 » Τετ Ιουν 02, 2010 9:00 pm

Μάλλον δεν έχω καταλάβει εγώ σωστά την άσκηση εξαρχής. Αυτό λοιπόν που ζητείται να αποδείξουμε είναι ότι υπάρχει μόνον ένας ή τουλάχιστον ένας αριθμός;

α. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19

β. 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28

γ. 28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46

Απ' ό,τι φαίνεται και στην πράξη η άσκηση μάλλον αναφέρεται σε τουλάχιστον έναν αριθμό.


Αν θέλεις να ζήσεις μιά ευτυχισμένη ζωή σύνδεσέ τη με ένα στόχο, όχι με πρόσωπα ή αντικείμενα.

Α. Αϊνστάιν
johnyb98
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 11:34 am
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από johnyb98 » Τετ Ιουν 02, 2010 9:03 pm

billy_scabilly έγραψε:Έστω α1,α2,..,α19 οι αριθμοί.Από τους αριθμούς α1 ως α10 ένας ακριβώς θα τελειώνει σε 0,εφόσον είναι διαδοχικοί.Τότε έστω αi ο αριθμός αυτός.Τότε οι επόμενοι 9 αριθμοί υπάρχουνε λόγω της υπόθεσης και επίσης το άθροισμα των ψηφίων του ai είναι κατά 1 μικρότερο από το άθροισμα των ψηφίων του αι +1,κλπ κλπ,του αi +8 μικρότερο κατά 1 από το άθροισμα των ψηφίων του αi +9 επειδή όλοι αυτοί οι αριθμοί βρίσκονται στην ίδια δεκάδα.Όμως τότε αναγκαστικά έχεις δέκα διαδοχικούς αριθμούς άρα τουλάχιστον ένας θα είναι πολλαπλάσιο του 10.
billy_scabilly, εδώ νομίζω ότι τα μπέρδεψες λίγο και συ όπως και γω συνέχεια προσπαθώντας να βρω τη λύση. Μία το πάω σωστά και προσθέτω τα ψηφία και μία μπερδεύομαι και διαιρώ με πολλαπλάσιο του δέκα (ο αριθμός να λήγει σε "0").


Αν θέλεις να ζήσεις μιά ευτυχισμένη ζωή σύνδεσέ τη με ένα στόχο, όχι με πρόσωπα ή αντικείμενα.

Α. Αϊνστάιν
kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Τετ Ιουν 02, 2010 11:06 pm

Είναι παραλλαγή (άλλοι αριθμοί) από το τρίτο πρόβλημα της πρώτης Πανρωσικής Ολυμπιάδας του 1961. Εκεί ζητούσαν: ανάμεσα σε οποιουσδήποτε 39 διαδοχικούς φυσικούς υπάρχει κάποιος το άθροισμα των ψηφίων του οποίου διαιρείται ακριβώς με το 11. Μπορεί κανείς να πεί τα εξής: σε 3 διαδοχικούς φυσικούς κάποιος έχει άθροισμα ψηφίων διαιρετό με το 2, σε 5 διαδοχικούς το άθροισμα ψηφίων κάποιου διαιρείται με το 3, σε 19 διαδοχικούς το άθροισμα ψηφίων κάποιου διαιρείται με το 10, σε 39 διαδοχικούς το άθροισμα ψηφίων κάποιου διαιρείται με το 11, σε 59 διαδοχικούς το άθροισμα ψηφίων κάποιου διαιρείται με το 12...
Κάνοντας δοκιμές η σκέψη μου είναι ακριβώς σαν του billy_scabilly. Μακάρι να γραφούν και άλλες σκέψεις από τα μέλη του :logo: ώστε να καταλάβουμε όσο το δυνατόν καλύτερα το μυστικό που κρύβεται.


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
billy_scabilly
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 13, 2010 12:26 am

Re: Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από billy_scabilly » Τετ Ιουν 02, 2010 11:15 pm

johnyb98,δεν καταλαβαίνω που μπερδεύεσαι.Νομίζω ότι η λύση είναι σωστή και μάλιστα είναι και αρκετά απλή και φυσικά αναφέρεται σε τουλάχιστον έναν αριθμό,απλά λέω ότι ανάμεσα στους 10 πρώτους υπάρχει ακριβώς ένας που τελειώνει σε 0,αυτό δεν συνεπάγεται ότι ανάμεσα στους 19 υπάρχει ακριβώς ένας με άθροισμα ψηφίων διαιρετό από το 10,αφού δουλεύεις με τους 9 επόμενους αυτού και όχι με όλους τους αριθμούς..Μπορείς να μου εξηγήσεις αν κάνω κάπου λάθος βέβαια.


johnyb98
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 11:34 am
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Άθροισμα ψηφίων-Διαιρετότητα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από johnyb98 » Πέμ Ιουν 03, 2010 11:42 am

Demetres έγραψε:Την ξεχάσαμε την άσκηση. Δίνω μια υπόδειξη.
Έστω m το πρώτο πολλαπλάσιο του 10. Τι μπορείτε να πείτε για το άθροισμα των ψηφίων των m,m+1,\ldots,m+9;
Το μυστικό βρίσκεται ακριβώς στο πρώτο πολλαπλάσιο του 10 (ή m). Η θέση του m δίνει και τις τεκμηριώσεις της άσκησης.

Πριν ξεκινήσω, να ορίσω σαν ονοματολογία των 19 φυσικών διαδοχικών αριθμών τους α1,α2,α3,...,α19.

α.
Καταρχήν, λόγω του ότι το άθροισμα των ψηφίων του m κάνει ένα ("1"), τότε, σύμφωνα και με την υπόδειξη του Demetres, θέλουμε άλλες εννέα ακέραιες μονάδες για να φτιάξουμε άλλον ένα φυσικό αριθμό, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων είναι πολλαπλάσιο του 10. Τότε m+9=19, αριθμός που επαληθεύει το ζητούμενο (οι ενδιάμεσοι m+1,...,m+8 δεν το επαληθεύουν). Από κει και πέρα, κάθε τέτοιος αριθμός, εφόσον το άθροισμα των ψηφίων του είναι 10, αυξανόμενος κατά 9 ακέραιες μονάδες επαληθεύει το ζητούμενο της άσκησης.

β.
Αυτό που θα χάλαγε τη λύση της άσκησης θα ήταν, η θέση του m να μη βρισκόταν ανάμεσα στους αριθμούς από α1 έως και α10. Κάτι τέτοιο όμως δε μπορεί να συμβαίνει λόγω του ότι, από τα δεδομένα της άσκησης πρόκειται για 19 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς. Εάν το m τοποθετηθεί για παράδειγμα στη θέση α18, τότε δε μπορούν να καλυφθούν όλοι οι αριθμοί από α1 μέχρι και α17. Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός που επαληθεύει το ζητούμενο. Ακόμα και στην αμέσως επόμενη θέση του α10, στην α11, δε μπορεί να τοποθετηθεί το m. Θα μπορούσε να τοποθετηθεί εκεί και να μην είχαμε και πάλι λύση. Αυτό όμως δεν είναι εφικτό διότι η άσκηση δίνει σαν δεδομένο 19 φυσικούς αριθμούς.

γ.
Σύμφωνα με το β. η θέση του m μπορεί να είναι από α1 μέχρι και α10. Όταν τοποθετηθεί ανάμεσα στο διάστημα [α1..α9] , εκεί δεν υπάρχει πρόβλημα όσον αφορά στους 19 αριθμούς, διότι, σε όποια θέση τοποθετηθεί, αυξανόμενο κατά 9 ακέραιες μονάδες δεν ξεπερνάει το όριο του 19. Πρέπει να εξετάσουμε εάν υπάρχει πρόβλημα όταν τοποθετηθεί στη max θέση του διαστήματος, δηλαδή στην α10. Σύμφωνα με την αύξησή του κατά max 9 ακέραιες μονάδες, εκεί παράγεται το 19, που είναι ταυτόχρονα και ζητούμενος σωστός αριθμός και αποδεικνύει το άλλο ζητούμενο της άσκησης, ότι δηλαδή πρόκειται για οποιουσδήποτε 19 φυσικούς αριθμούς.


Ζητάω συγγνώμη από τον billy_scabilly και όσους μπέρδεψα με προηγούμενη απάντηση. Μελετώντας καλύτερα τη λύση που πρότεινε την κατάλαβα.

Φιλικά, Γιάννης


Αν θέλεις να ζήσεις μιά ευτυχισμένη ζωή σύνδεσέ τη με ένα στόχο, όχι με πρόσωπα ή αντικείμενα.

Α. Αϊνστάιν
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες