Σύστημα με παράμετρο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6461
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Σύστημα με παράμετρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Αύγ 31, 2022 4:35 pm

Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου k έχει το σύστημα εξισώσεων
\displaystyle{\begin{cases} |x + 6| + 2|y| = 24, \\ 
|x + y|+|x − y| = 2k 
\end{cases}}
περιττό αριθμό λύσεων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών;


Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
vgreco
Δημοσιεύσεις: 68
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 19, 2022 6:22 pm

Re: Σύστημα με παράμετρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vgreco » Σάβ Σεπ 03, 2022 7:54 am

socrates έγραψε:
Τετ Αύγ 31, 2022 4:35 pm
Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου k έχει το σύστημα εξισώσεων
\displaystyle{\begin{cases} |x + 6| + 2|y| = 24, \quad \quad (1) \\ 
|x + y|+|x - y| = 2k \;\;\;\, (2) 
\end{cases}}
περιττό αριθμό λύσεων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών;
H γραφική παράσταση της πρώτης εξίσωσης είναι προφανώς συμμετρική ως προς τον άξονα x'x, άρα αν το τετράγωνο κέντρου O(0, 0)
και πλευράς 2k (δεύτερη εξίσωση) την τέμνει, έστω σε σημείο A(m, n), θα την τέμνει επίσης και σε σημείο A'(m, -n) (όπου n \neq 0),
συνολικά, δηλαδή σε ζυγό πλήθος σημείων. Οπότε το σύστημα θα έχει άρτιο πλήθος λύσεων.

Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση που η (2) τέμνει την (1) σε σημείο του οριζόντιου άξονα.

Για y=0, η (1) γίνεται |x + 6| = 24 \Leftrightarrow x=18 \; \lor \; x = -30 και επομένως τέμνει τον x'x στα σημεία (-30, 0) και (18, 0).

Διακρίνω δύο περιπτώσεις:
  • \dfrac{2k}{2} = |18| \Leftrightarrow k = 18, απ' όπου αντικαθιστώντας παίρνω τρία ζεύγη λύσεων: (18, 0), (-18, 6), (18, 6).
  • \dfrac{2k}{2} = |-30| \Leftrightarrow k = 30, απ' όπου αντικαθιστώντας βρίσκω τη μοναδική λύση (-30, 0).
Τελικά, \boxed{k \in \{18, 30\}}.

Και το σχήμα (δείχνει τα σημεία τομής για k=18):
Σύστημα_με_παράμετρο.png
Σύστημα_με_παράμετρο.png (79.74 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9857
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σύστημα με παράμετρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Σεπ 03, 2022 9:21 am

vgreco έγραψε:
Σάβ Σεπ 03, 2022 7:54 am
socrates έγραψε:
Τετ Αύγ 31, 2022 4:35 pm
Για ποιες τιμές της πραγματικής παραμέτρου k έχει το σύστημα εξισώσεων
\displaystyle{\begin{cases} |x + 6| + 2|y| = 24, \quad \quad (1) \\ 
|x + y|+|x - y| = 2k \;\;\;\, (2) 
\end{cases}}
περιττό αριθμό λύσεων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών;
H γραφική παράσταση της πρώτης εξίσωσης είναι προφανώς συμμετρική ως προς τον άξονα x'x, άρα αν το τετράγωνο κέντρου O(0, 0)
και πλευράς 2k (δεύτερη εξίσωση) την τέμνει, έστω σε σημείο A(m, n), θα την τέμνει επίσης και σε σημείο A'(m, -n) (όπου n \neq 0),
συνολικά, δηλαδή σε ζυγό πλήθος σημείων. Οπότε το σύστημα θα έχει άρτιο πλήθος λύσεων.

Μένει να εξετάσουμε την περίπτωση που η (2) τέμνει την (1) σε σημείο του οριζόντιου άξονα.

Για y=0, η (1) γίνεται |x + 6| = 24 \Leftrightarrow x=18 \; \lor \; x = -30 και επομένως τέμνει τον x'x στα σημεία (-30, 0) και (18, 0).

Διακρίνω δύο περιπτώσεις:
  • \dfrac{2k}{2} = |18| \Leftrightarrow k = 18, απ' όπου αντικαθιστώντας παίρνω τρία ζεύγη λύσεων: (18, 0), (-18, 6), (18, 6).
  • \dfrac{2k}{2} = |-30| \Leftrightarrow k = 30, απ' όπου αντικαθιστώντας βρίσκω τη μοναδική λύση (-30, 0).
Τελικά, \boxed{k \in \{18, 30\}}.

Και το σχήμα (δείχνει τα σημεία τομής για k=18):

Σύστημα_με_παράμετρο.png
Ωραία πράγματα !


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6461
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Σύστημα με παράμετρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Σεπ 04, 2022 4:35 pm

Πολύ ωραία! :coolspeak:
Η γεωμετρική ματιά βοηθάει πολύ εδώ...


Σχετικό θέμα:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 19&t=35229


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες