Υπολογισμός Ορίου

TrItOs · #1

Πρόβλημα : Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f : ( 0, 1 ] \rightarrow ( 0, + \infty )}$ η οποία έχει τις εξής ιδιότητες:

η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι διαφορίσιμη στο $\displaystyle{( 0, 1 ]}$ ,

$\displaystyle{f'(1) > 0}$ και

η συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = \ln{\big( f(x) \big)}, \forall x \in ( 0, 1 ]}$ έχει φθίνουσα παράγωγο.

Ορίζουμε την ακολουθία $\big( x_{n} \big) \limits_{n \in \mathbb{N} }$ με τύπο $\displaystyle{ x_{n} = \sum\limits_{k=1}^{n} \Big[ f \Big( \frac{k}{n} \Big) \Big]^{n}. }$
Να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle{\lim\limits_{n \to + \infty} x_{n} = 0}$ , όταν $\displaystyle{f(1) < 1}$
ή
$\displaystyle{\lim\limits_{n \to + \infty} x_{n} = \frac{1}{1 - e^{- f'(1)}}}$ , όταν $\displaystyle{f(1) = 1}$
ή
$\displaystyle{\lim\limits_{n \to + \infty} x_{n} = + \infty}$ , όταν $\displaystyle{f(1) > 1}$ .

ksofsa · #2

Καλησπέρα.

Για το πρώτο ερώτημα:

Αφού η g(x)

κοίλη, είναι κάτω από την εφαπτομένη στο x=1

.

Δηλαδή, $g(x)\leq g'(1)(x-1)+g(1)\Leftrightarrow lnf(x)\leq \dfrac{f'(1)}{f(1)}(x-1)+lnf(1)\leq f'(1)(x-1)+lnf(1)$

$f(x)\leq f(1)e^{xf'(1)-f'(1)}$ .

Άρα, $x_{n}\leq (f(1))^n\sum_{k=1}^{n}(e^{f'(1)(\frac{k}{n}-1)})^n=(f(1))^n\sum_{k=1}^{n}e^{f'(1)(k-n)}=(f(1))^n\sum_{k=0}^{n-1}e^{-f'(1)k}$ .

Παίρνοντας όρια, κι επειδή το δεξί όριο είναι 0 (το άθροισμα είναι άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο μικρότερο της μονάδας), παίρνω ότι

$lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0$ .

ksofsa · #3

Για το δεύτερο ερώτημα:

Όπως, προηγουμένως, δείχνω ότι $x_{n}\leq \sum_{k=0}^{n-1}e^{-f'(1)k}\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \dfrac{1}{1-e^{-f'(1)}}$ .

Από εδώ και ύστερα είναι λάθος η συλλογιστική πορεία.

Ακόμη, έχω:

$x_{n}\geq \sum_{k=n-a}^{n}[f(\dfrac{k}{n})]^n=\sum_{k=0}^{a}[f(1-\dfrac{k}{n})]^n$ .

Για αρκετά μικρό $\dfrac{a}{n}$ , το $f(1-\dfrac{a}{n})$ πλησιάζει όσο θέλουμε την τιμή $-\dfrac{af'(1)}{n}+1$ (από τον ορισμό της παραγώγου f'(1)

).

Οπότε, $\sum_{k=0}^{a}[f(1-\dfrac{k}{n})]^n\approx 1+\sum_{k=1}^{a}(1-\dfrac{kf'(1)}{n})^n$

και άρα

$\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}> \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=0}^{a}[f(1-\dfrac{k}{n})]^n\approx 1+\sum_{k=1}^{a}e^{-f'(1)k}$ .

Καθώς μεγαλώνει το

, το

μπορεί να πάρει όσο μεγάλες τιμές θέλουμε , διατηρώντας το $\dfrac{a}{n}$ όσο θέλουμε κοντά στο

.

Τελικά $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq 1+\sum_{k=1}^{\infty }e^{-f'(1)k}=\dfrac{1}{1-e^{-f'(1)}}$ .

Το όριο ισούται λοιπόν με $\dfrac{1}{1-e^{-f'(1)}}$ .

ksofsa · #4

Είναι λάθος η συλλογιστική πορεία.

Για το τρίτο ερώτημα:

Όπως προηγουμένως, δείχνω ότι για μεγάλα

:

$x_{n}\geq 1+\sum_{k=1}^{a}(f(1)-\dfrac{kf'(1)}{n})^n$ .

Όμως, f(1)> 1

και παίρνοντας όρια, βρίσκω ότι το δεξί είναι άπειρο, άρα θα είναι άπειρο και το αριστερό.

ksofsa · #5

Καλησπέρα.

Θα ήθελα να ρωτήσω αν είναι σωστή η αντιμετώπιση του 2ου ερωτήματος και συγκεκριμένα ο συλλογισμός για το κάτω φράγμα του ορίου. Έχω αμφιβολίες για το αν επιτρέπεται η αντικατάσταση των τιμών της f(x) από τις προσεγγίσεις τους.

Έκρινα ότι έπρεπε να επαναφέρω τη συζήτηση, που να επισημανθούν τα λάθη της συλλογιστικής πορείας και να μην υπάρχουν στο φόρουμ απαντήσεις φαινομενικά σωστές , αλλά λανθασμένες κατά βάθος.

ksofsa · #6

Καλημέρα!

Προσπάθεια διάσωσης για το κάτω φράγμα στο 2ο ερώτημα:

$x_{n}\geq \sum_{k=n-a}^{n}[f(\frac{k}{n})]^n=\sum_{k=0}^{a}[f(1-\frac{k}{n})]^n$ .

Σταθεροποιώ το

.

Θα δείξω ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }[f(1-\frac{k}{n})]^n=e^{-kf'(1)}\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }nlnf(1-\frac{k}{n})=-kf'(1)\Leftrightarrow$

$\lim_{n\rightarrow \infty }ng(1-\frac{k}{n})=-kg'(1)$

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{g(1-\frac{k}{n})-g(1)}{(1-\frac{k}{n})-1}=g'(1)$ , που ισχύει.

Το

μπορεί να πάρει απεριόριστα μεγάλες τιμές , καθώς μεγαλώνει το

, ώστε το $\frac{a}{n}$ να είναι όσο θέλουμε κοντά στο

.

Τελικά $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=0}^{a}[f(1-\frac{k}{n})]^n=\sum_{k=0}^{a}e^{-kf'(1)}$

κι επειδή το

μπορεί να πάρει όσο μεγάλη τιμή θέλουμε , έχω ότι

$\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \sum_{k=0}^{\infty }e^{-kf'(1)}= \frac{1}{1-e^{-f'(1)}}$ .

Ελπίζω να είναι σωστό τώρα.

ksofsa · #7

Σωστά για το τρίτο ερώτημα:

$x_{n}\geq [f(1-\frac{1}{n})]^n$

Υπάρχει αρκετά μικρό $\varepsilon >0$ , ώστε $f(1)-\epsilon =a> 1$ .

Υπάρχει $n_{0}$ , ώστε για κάθε $n\geq n_{0}$ , να είναι:

$f(1-\frac{1}{n})\geq f(1)-\epsilon =a>1$ $\Rightarrow [f(1-\frac{1}{n})]^n\geq a^n$

Άρα, $\lim_{n\rightarrow \infty }[f(1-\frac{1}{n})]^n=+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty$

ksofsa · #8

Η περίπτωση που f(x)=x

έχει ξανασυζητηθεί στο φόρουμ, εδώ.

Υπολογισμός Ορίου

Υπολογισμός Ορίου

Re: Υπολογισμός Ορίου

Re: Υπολογισμός Ορίου

Re: Υπολογισμός Ορίου

Re: Υπολογισμός Ορίου

Re: Υπολογισμός Ορίου

Re: Υπολογισμός Ορίου

Re: Υπολογισμός Ορίου

Μέλη σε σύνδεση