Υπολογισμός τμήματος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10175
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Υπολογισμός τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Δεκ 28, 2020 7:12 pm

Τμήμα από ακτίνες.png
Τμήμα από ακτίνες.png (11.14 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Τα σημεία D, E επιλέγονται στις πλευρές AB, AC τριγώνου ABC με \widehat A=30^\circ, έτσι ώστε BD=BC=CE.

Να υπολογίσετε το μήκος του DE συναρτήσει των ακτίνων r, R του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7792
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογισμός τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Δεκ 30, 2020 1:27 am

george visvikis έγραψε:
Δευ Δεκ 28, 2020 7:12 pm
Τμήμα από ακτίνες.png
Τα σημεία D, E επιλέγονται στις πλευρές AB, AC τριγώνου ABC με \widehat A=30^\circ, έτσι ώστε BD=BC=CE.

Να υπολογίσετε το μήκος του DE συναρτήσει των ακτίνων r, R του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου.
Υπολογισμός τμήματος.png
Υπολογισμός τμήματος.png (46.35 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές
Προφανώς R = a ας είναι O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,I το περίκεντρο και το έγκεντρο αντίστοιχα .

Φαίνεται να χρειάζεται το Θ Euler αλλά ας το δούμε αλλιώς .

Το ισοσκελές \vartriangle IED έχει τη γωνία \widehat {EID} = 45^\circ και το O ορθόκεντρο , οπότε :

\boxed{ED = OI = R\frac{{\sqrt 3 }}{2} - r}.

Έχω και μετρική λύση , αλλά και στο σχήμα επαληθεύεται η σχέση .

Μετρική λύση

\left\{ \begin{gathered} 
  u = AD = AE = a\frac{{\sqrt 2  + \sqrt 6 }}{2} - a \hfill \\ 
  x = DE = a\frac{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{2} + a \hfill \\ 
  r = a\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a\frac{{\sqrt 2  - \sqrt 6 }}{2} - a \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο τελευταίων έχω το ζητούμενο .

Η πιο πάνω διαπραγμάτευση , Όπως με ενημέρωσε ο φίλος μου Γιώργος Βισβίκης αφορά μόνο το ισοσκελές τρίγωνο και όχι την γενική που θα εξετάσω όχι όμως σήμερα .

Εκτός ίσως αν κάποιος άλλος απαντήσει στην γενική περίπτωση . Επί της ουσίας η άσκηση είναι αναπάντητη στην εν γένει περίπτωση .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10175
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπολογισμός τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 12, 2021 6:33 pm

Για να μη μείνει αναπάντητη.

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι \displaystyle B\widehat OC = 2B\widehat AC = 60^\circ  \Leftrightarrow \boxed{a=R} (1)

Είναι ακόμα \displaystyle \tan 15^\circ  = 2 - \sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{r}{{\tau  - a}} = 2 - \sqrt 3  \Leftrightarrow \boxed{\frac{{2r}}{{b + c - a}} = 2 - \sqrt 3 } (2)
Τμήμα από ακτίνες.β.png
Τμήμα από ακτίνες.β.png (22.86 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Με νόμο συνημιτόνου διαδοχικά στα τρίγωνα ABC, ADE παίρνω \boxed{a^2=b^2+c^2-bc\sqrt 3} (3) και στη συνέχεια:

\displaystyle D{E^2} = {(b - a)^2} + {(c - a)^2} - (b - a)(c - a)\sqrt 3  \Leftrightarrow

\displaystyle D{E^2} = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 3  - 2a(b + c - a) + a\sqrt 3 (b + c - a)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(3)}

\displaystyle D{E^2} = {a^2} - a(b + c - a)(2 - \sqrt 3 )\mathop  = \limits^{(1),(2)} {R^2} - 2Rr \Leftrightarrow \boxed{DE=\sqrt{R^2-2Rr}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10175
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπολογισμός τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 13, 2021 6:46 pm

Κι ένα επιπλέον ερώτημα: Αποδείξτε ότι το O είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου IDE.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες