Όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4578
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Δεκ 27, 2020 10:24 am

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \left ( \int_{-\infty}^{1-\varepsilon} + \int_{1+\varepsilon}^{\infty}  \right ) \frac{x}{x^3-1}\, \mathrm{d}x }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Δεκ 27, 2020 1:34 pm

Έλα Τόλη Καλημέρα. Για x\neq 1 μπορούμε να γράψουμε

\displaystyle{\dfrac{x}{x^3-1}=\dfrac{1}{3}\,\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{3}\,\dfrac{x-1}{x^2+x+1}}

οπότε σε ένα διάστημα \Delta που δεν περιέχει το 1 ολοκληρώνουμε και έχουμε

\begin{aligned} \int \dfrac{x}{x^3-1}\,\mathrm{d}x&=\dfrac{1}{3}\int \dfrac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{3}\,\int \dfrac{x-1}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x\\&=\dfrac{1}{3}\,\int \dfrac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{6}\,\int \dfrac{(2\,x+1)-3}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x\\&=\dfrac{1}{3}\,\int \dfrac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x-\dfrac{1}{6}\,\int \dfrac{2\,x+1}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x+\dfrac{2}{3}\,\int \dfrac{1}{1+((2\,x+1)/\sqrt{3})^2}\,\mathrm{d}x\\&=\dfrac{1}{3}\,\ln\,|x-1|-\dfrac{1}{6}\,\ln\,(x^2+x+1)+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\left(\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}}\right)+c\,,c\in\mathbb{R}\\&=\dfrac{1}{3}\,\ln\,\dfrac{|x-1|}{\sqrt{x^2+x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\left(\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}}\right)+c\,,c\in\mathbb{R}\end{aligned}

Έπειτα ολοκληρώνουμε για \epsilon>0 στα \left(-\infty,1-\epsilon\right) και \left(1+\epsilon,+\infty\right) αντίστοιχα χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι

\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\dfrac{|x-1|}{\sqrt{x^2+x+1}}=1\,\,,\lim_{x\to +\infty}\dfrac{|x-1|}{\sqrt{x^2+x+1}}=1}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες