Ελάχιστο

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ελάχιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιουν 05, 2020 11:17 pm

Ίσως να μην είναι στο κατάλληλο φάκελο . Αν είναι , ας μεταφερθεί.


Για κάθε n \in \mathbb{N} ορίζουμε την οικογένεια συναρτήσεων:

\displaystyle{f_n (x) = \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2^{k+1}} x + \sin^{2^{k+1}} x  \right )}
Να προσδιοριστεί το ελάχιστο της κάθε f_n καθώς και οι τιμές του x για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 07, 2020 2:24 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιουν 05, 2020 11:17 pm
Ίσως να μην είναι στο κατάλληλο φάκελο . Αν είναι , ας μεταφερθεί.


Για κάθε n \in \mathbb{N} ορίζουμε την οικογένεια συναρτήσεων:

\displaystyle{f_n (x) = \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2^{k+1}} x + \sin^{2^{k+1}} x  \right )}
Να προσδιοριστεί το ελάχιστο της κάθε f_n καθώς και οι τιμές του x για τις οποίες αυτό επιτυγχάνεται.
Να σημειώσω ότι έσβησα προηγούμενη ανάρτηση μου για το θέμα.
Ειχα κάνει κάποιες παρατηρήσεις για τον φάκελο.
Είχα διαβάσει λάθος την εκφώνηση.

Να δώσω λύση να τελειώνει.
Είναι γνωστό ότι για
n\geq 2,a,b\geq 0
ισχύει
\displaystyle a^{n}+b^{n}\geq 2(\frac{a+b}{2})^{n}
με ισότητα για a=b
Αν το εφαρμόσουμε για
\displaystyle a=(\sin x)^2,b=(\cos x)^2,n=2^{k}
βρίσκουμε ότι η ελάχιστη τιμή είναι
\displaystyle 2^{n+2-2^{n+1}}
και την παίρνει αν και μόνο αν
\left | \cos x \right |=\left | \sin x \right |

Από ότι φαίνεται είναι για πολύ πιο κάτω φάκελο


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες