Ώρα συνημιτόνου 7

KARKAR · #1

: Ώρα συνημιτόνου.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

Κατασκευάστε παραλληλόγραμμο ABCD

, με

και τέτοιο

ώστε η κάθετη από το

προς την

, να διέρχεται από το μέσο

της

.

Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : $\cos\widehat{BAD}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2020 1:50 pm
Ώρα συνημιτόνου.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο , με και τέτοιο

ώστε η κάθετη από το προς την , να διέρχεται από το μέσο της .

Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : $\cos\widehat{BAD}$ .

: Ώρα συνημιτόνου.7.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 773 φορές

$\displaystyle \cos \omega = \frac{7}{{20}}$

edit: άρση απόκρυψης.

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2020 1:50 pm
Ώρα συνημιτόνου.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο , με και τέτοιο

ώστε η κάθετη από το προς την , να διέρχεται από το μέσο της .

Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : $\cos\widehat{BAD}$ .

$MC//AB\Rightarrow \dfrac{NC}{AN}=\dfrac{MN}{NB}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow AN=2NC,NB=2MN, MN^{2}+NC^{2}=16,(1),NC^{2}+NB^{2}=25,(2), (1),(2) \Rightarrow MN=\sqrt{3}, NC=\sqrt{13},cos\omega =cos(\hat{MCN}+\hat{NCB})= \dfrac{\sqrt{13}\sqrt{13}}{20}-\dfrac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{20}= \dfrac{7}{20}$

#4

: Ώρα συνημιτόνου.7β.png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 756 φορές

Κατασκευή: Με διάμετρο AB=8

γράφω ημικύκλιο που τέμνει τον κύκλο $(B, 2\sqrt 3)$ στο

Στην προέκταση της

θεωρώ σημείο

ώστε $KM=\sqrt 3.$ Από το

φέρνω παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

.

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

τότε το

είναι το ζητούμενο παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη: Εκ κατασκευής το

είναι μέσο του

και $BM\bot AC.$ Επίσης, $\displaystyle \frac{{MC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow MC = 4,$

άρα DC||=AB,

οπότε το

είναι παραλληλόγραμμο. Αρκεί να δείξω ότι BC=5.

Πράγματι, $\displaystyle B{C^2} = B{K^2} + (M{C^2} - M{K^2}) =12+16-3= 25 \Leftrightarrow BC = 5.$

Τέλος με νόμο συνημιτόνου στο τρίγωνο MBC,

προκύπτει $\boxed{\cos \omega = \frac{7}{{20}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 16, 2020 1:50 pm
Ώρα συνημιτόνου.pngΚατασκευάστε παραλληλόγραμμο , με και τέτοιο

ώστε η κάθετη από το προς την , να διέρχεται από το μέσο της .

Γι αυτό το παραλληλόγραμμο , υπολογίστε το : $\cos\widehat{BAD}$ .

Κατασκευή

Κατασκευάζουμε το τρίγωνο DCN

με $CD=8,DN= \dfrac{15}{2} , CN= \dfrac{5}{2}$ κι έστω

συμμετρικό του

ως προς

Κατασευάζουμε τώρα το παραλ/μμο DCBA

που είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη

Στο $\triangle DBC$ από κατασκευή το $G=AC \cap DN$ είναι κ.βάρους του,άρα

$\dfrac{GN}{DN}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{GN}{ \dfrac{15}{2} }= \dfrac{1}{3} \Rightarrow GN=2.5 = \dfrac{BC}{2} \Rightarrow BM \bot AC$

Με θ.διαμέσου στο $\triangle DCB \Rightarrow DB^2=61$ κι έπειτα με ν.συνημιτόνου στο ίδιο τρίγωνο $\Rightarrow cos \omega = \dfrac{7}{20}$

: ώρα συνημιτόνου 7.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

#6

Επειδή:

Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και πάσης

άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών θα είναι ίσα.

Έχω την παρακάτω κατασκευή .

Με διάμετρο $\overline {ABS} = 12$ γράφω ημικύκλιο και τον κύκλο $\left( {B,5} \right)$ που το τέμνει στο

.

Φέρνω AD// = BC

κι έχω το ορθογώνιο που ζητώ .

(Δείτε και την άσκηση 4 από τις αποδεικτικές της παραγράφου 5.9

σελίδα

σχολικού)

: Ωρα συνημιτόνου 7.png (37.98 KiB) Προβλήθηκε 710 φορές

Υπολογισμός .

Αν

η προβολή του

στην

από το Θ επέκτασης του Π. Θ. στο $\vartriangle MBC$ έχω:

$B{C^2} = M{B^2} + M{C^2} - 2MB \cdot ME \Rightarrow 25 = 9{m^2} + 16 - 6{m^2} \Rightarrow \,\,\,{m^2} = 3$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle EMC$ έχω: ${y^2} = 16 - 3 = 13\,\,\,\left( 1 \right)$

Αλλά : $2y \cdot 3y = 8\left( {x + 8} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \,\,\,\boxed{x = \frac{7}{4}} \Rightarrow \boxed{\cos \theta = \frac{7}{{20}}}$

Ώρα συνημιτόνου 7

Ώρα συνημιτόνου 7

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

Re: Ώρα συνημιτόνου 7

Μέλη σε σύνδεση