Μη αριθμήσιμο σύνολο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

andromeda.pappa
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 24, 2019 8:36 pm

Μη αριθμήσιμο σύνολο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andromeda.pappa » Τετ Δεκ 18, 2019 11:12 pm

Έστω Α αριθμήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο P(Α) δεν είναι αριθμήσιμο.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11931
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 18, 2019 11:38 pm

andromeda.pappa έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 11:12 pm
Έστω Α αριθμήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο P(Α) δεν είναι αριθμήσιμο.
Είναι στάνταρ θεωρία και υπάρχει σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Συνόλων, στο κεφάλαιο των πληθαρίθμων, οπότε δεν υπάρχει λόγος να το επαναλάβουμε εδώ ως χιλιοειπωμένο.

Δες τα βιβλία που σου έδωσε δωρεάν το κράτος. Αν δεν βρεις το θεώρημα, πες μας ποιο βιβλίο διαβάζεις και θα σε παραπέμψουμε στην σχετική σελίδα. Αν πάλι δυσκολευτείς να καταλάβεις την απόδειξη, πες μας που κόλλησες και θα σε κατατοπίσουμε.

Και κάτι ακόμα: Αν θέλεις να απαντάμε στις ερωτήσεις σου, καλό είναι να ανταποκρίνεσαι και εσύ σε αυτές που σου θέτουν συνάδελφοι με σκοπό να σου διδάξουν κάτι. Π.χ. βλέπε το ποστ του Δημήτρη εδώ


stranger
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Δεκ 19, 2019 8:46 am

Πρέπει να προσθέσεις στις υποθέσεις ότι το A είναι άπειρο σύνολο, διαφορετικά δεν ισχύει.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Δεκ 19, 2019 10:42 am

stranger έγραψε:
Πέμ Δεκ 19, 2019 8:46 am
Πρέπει να προσθέσεις στις υποθέσεις ότι το A είναι άπειρο σύνολο, διαφορετικά δεν ισχύει.
Το συνηθισμένο είναι να λέμε ότι ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο αν είναι είτε πεπερασμένο είτε
ισοπληθικό με το \mathbb{N}
Μερικοί όμως συγγραφείς (Ελληνες κυρίως) με τον όρο αριθμήσιμο σύνολο ορίζουν ένα
σύνολο που είναι ισοπληθικό με το \mathbb{N}.
Και επειδή μάλλον η διατύπωση είναι από Ελληνικό βιβλίο θα είναι διατυπωμένη έτσι.

Στην ουσία.
Ισχύει το εξής:
Αν A είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο και P(A)=\left \{ B:B\subseteq A \right \}
το δυναμοσύνολο του
τότε δεν υπάρχει συνάρτηση f:A\rightarrow P(A)
με f(A)=P(A).


stranger
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Δεκ 19, 2019 11:54 pm

Σωστά! Αυτό που ισχύει γενικά είναι ότι |A| < |P(A)| για κάθε σύνολο A.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
stranger
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Δεκ 20, 2019 12:23 am

andromeda.pappa έγραψε:
Τετ Δεκ 18, 2019 11:12 pm
Έστω Α αριθμήσιμο σύνολο. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο P(Α) δεν είναι αριθμήσιμο.
Μπορείς να μας πεις τις σκέψεις σου πάνω σε αυτή την άσκηση;
Ti γίνεται αν θέλουμε να αποδείξουμε το ασθενέστερο |A| \leq |P(A)| ;
Έχεις καμία ιδέα;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
andromeda.pappa
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 24, 2019 8:36 pm

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andromeda.pappa » Τρί Δεκ 24, 2019 2:08 pm

Δεν είμαι σίγουρη αλλά γνωρίζουμε πως αν |Α|= n (όπου n ο αριθμός των στοιχείων του Α) τότε |P(A)| = 2^n. Αντικαθιστούμε στην δοσμένη ανίσωση και την αποδεικνύουμε με επαγωγή.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11931
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 24, 2019 2:39 pm

andromeda.pappa έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 2:08 pm
Δεν είμαι σίγουρη αλλά γνωρίζουμε πως αν |Α|= n (όπου n ο αριθμός των στοιχείων του Α) τότε |P(A)| = 2^n. Αντικαθιστούμε στην δοσμένη ανίσωση και την αποδεικνύουμε με επαγωγή.
Όχι δεν είναι σωστός ο συλλογισμός. Αληθεύει μόνο για πεπερασμένα σύνολα αλλά η ερώτηση αφορά αριθμήσιμο σύνολο. Εκεί δεν έχει νόημα η επαγωγή.

Παραπάνω σε παρότρυνα να κοιτάξεις το βιβλίο σου. Τι ακριβώς κοίταξες;


andromeda.pappa
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 24, 2019 8:36 pm

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andromeda.pappa » Τετ Δεκ 25, 2019 12:54 pm

Ευχαριστώ για την βοήθεια. Στις σημειώσεις μου βρήκα πως λύνεται με απαγωγή σε άτοπο δημιουργοντας ένα σύνολο Β του οποίου τα στοιχεία x δεν ανήκουν στην συνάρτηση f. Αλλά αφού η f είναι επί καταλήγουμε σε άτοπο. Είναι σωστό αυτό το σκεπτικό;


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 144
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Μη αριθμήσιμο σύνολο

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Πέμ Δεκ 26, 2019 11:03 am

andromeda.pappa έγραψε:
Τετ Δεκ 25, 2019 12:54 pm
Ευχαριστώ για την βοήθεια. Στις σημειώσεις μου βρήκα πως λύνεται με απαγωγή σε άτοπο δημιουργοντας ένα σύνολο Β του οποίου τα στοιχεία x δεν ανήκουν στην συνάρτηση f. Αλλά αφού η f είναι επί καταλήγουμε σε άτοπο. Είναι σωστό αυτό το σκεπτικό;
Για να βοηθήσω, όπως ειπώθηκε παραπάνω, είναι καλό το μαθηματικό κείμενο να είναι γραμμένο σε \LaTeX. Κάποιες οδηγίες βρίσκονται εδώ.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες