Μια ακόμα αντιμετώπιση:
Από την ανισότητα Jordan γνωρίζουμε ότι

για κάθε

.
Επομένως ισχύει
Λόγω των συνθηκών, λαμβάνουμε
δηλαδή

Επομένως είναι
Λόγω της μονοτονίας του ημιτόνου είναι

.
Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί με το να αποδείξουμε ότι

(

)

(

)

(

)
και ως εκ τούτου οι ζητούμενες τιμές του

θα είναι οι
Οι (

), (

) αποδεικνύονται εύκολα μέσω των γνωστών σχέσεων

και

.
Το ενδιαφέρον είναι η απόδειξη της (

).
Μια απόδειξη με χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών έδωσε παραπάνω ο abgd.
Μια στοιχειώδης απόδειξη είναι η εξής:
Από τον τύπο του τριπλάσιου τόξου έχουμε

.
Επομένως θέλουμε να αποδείξουμε ότι:
Αν

, τότε
Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι
![\displaystyle{3x=4x^3+\frac{\sqrt{3}}{2}=4x^3+5\cdot \frac{\sqrt{3}}{10}\geq 6\sqrt[6]{4x^3\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right)^5}} \displaystyle{3x=4x^3+\frac{\sqrt{3}}{2}=4x^3+5\cdot \frac{\sqrt{3}}{10}\geq 6\sqrt[6]{4x^3\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right)^5}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/69644587f7cf9cb92dbdbfd70d550ab1.png)
,
οπότε προκύπτει
![\displaystyle{x>\sqrt[3]{2\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5}} \displaystyle{x>\sqrt[3]{2\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/61045e503b22b044a5c5ebdf6eaa6a4d.png)
.
Τώρα είναι απλό να δούμε ότι
![\displaystyle{\sqrt[3]{2\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5}>\frac{1}{3}.} \displaystyle{\sqrt[3]{2\left(\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^5}>\frac{1}{3}.}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e1d7534bc70952f2b479f1b745b818b7.png)