Συνευθειακά από σχέση πλευρών

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 391
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Συνευθειακά από σχέση πλευρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Σεπ 17, 2019 5:08 pm

134.PNG
134.PNG (23.98 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές
Έστω τρίγωνο ABC με b+c=3a.
Θεωρούμε τον A-παραγεγραμμένο κύκλο ο οποίος εφάπτεται των AB,AC στα F,E .
Από το μέσο K του BC φέρουμε παράλληλη στην AB που τέμνει την διχοτόμο της \angle  B στο L .
Να δείξετε ότι το συμμετρικό A' του A ως προς το L ανήκει στην FE.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8414
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά από σχέση πλευρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 18, 2019 7:04 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Τρί Σεπ 17, 2019 5:08 pm
134.PNG
Έστω τρίγωνο ABC με b+c=3a.
Θεωρούμε τον A-παραγεγραμμένο κύκλο ο οποίος εφάπτεται των AB,AC στα F,E .
Από το μέσο K του BC φέρουμε παράλληλη στην AB που τέμνει την διχοτόμο της \angle  B στο L .
Να δείξετε ότι το συμμετρικό A' του A ως προς το L ανήκει στην FE.
Έστω M το μέσο της AF και H το σημείο τομής των EF και BI_a. Θα δείξω ότι το L είναι μέσο του AA'.
Συνευθειακά από σχέση πλευρών.png
Συνευθειακά από σχέση πλευρών.png (17.97 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές
\displaystyle AF = \frac{{a + b + c}}{2} = 2a και \displaystyle KL = \frac{a}{2} \Leftrightarrow B\widehat LC = 90^\circ .

BH||LC (είναι κάθετες στην ίδια ευθεία), άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και το BLCH είναι εγγράψιμο, άρα

ορθογώνιο. Τα L, K, H είναι λοιπόν συνευθειακά και LH=a=MF, άρα MLHF είναι παραλληλόγραμμο,

που αποδεικνύει το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης