Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6821
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Απρ 24, 2019 12:01 am

Έστω \displaystyle x,y δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει \displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}.
Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6172
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Απρ 24, 2019 11:08 am

Η ζητούμενη γράφεται ως \displaystyle{x^2y\leq 1.}

Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτή, οπότε θα είναι \displaystyle{y>\frac{1}{x^2}.}

Από Cauchy-Schwarz έχουμε

\displaystyle{x^2+y^2+x\geq x^4+y^4+x^3\geq \frac{(x^2+y^2+x)^2}{2+\frac{1}{x}}\implies 2+\frac{1}{x}\geq x^2+y^2+x.}

Τότε, λόγω της υπόθεσης, έχουμε

\displaystyle{2+\frac{1}{x}> x^2+\frac{1}{x^4}+x\implies x^6+x^5-2x^4-x^3+1< 0\implies (x-1)^2(x+1)(x^3+2x^2+x+1)<0,}

άτοπο!


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3923
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Απρ 24, 2019 3:12 pm

Και διαφορετικά:

Η ζητούμενη γράφεται:

\dfrac{1-x^4}{x^2}+\dfrac{1-y^2}{y}\geq 0

Ορίζουμε f(x)=\dfrac{1-x^2}{x}, \ x>0 η οποία είναι κυρτή (εύκολο), οπότε από την ανισότητα Jensen παίρνουμε:

\dfrac{1-x^4}{x^2}+\dfrac{1-y^2}{y} = f(x^2)+f(y)\geq 2f\left(\dfrac{x^2+y}{2}\right) = \dfrac{4-(x^2+y)^2}{x^2+y}

οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι x^2+y\leq 2 \Leftrightarrow 4-2x^2-2y \geq 0.

Λόγω της δοσμένης σχέσης παίρνουμε ότι

\begin{aligned}4-2x^2-2y-(x^2+y^2+x-x^4-y^4-x^3) &= (x^4+x^3-3x^2-x+2)+(y^4-y^2-2y+2) \\ &= (x-1)^2(x^2+3x+2)+(y-1)^2(y^2+2y+2)\geq 0\end{aligned}

άρα 4-2x^2-2y \geq x^2+y^2+x-x^4-y^4-x^3 \geq 0 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Απρ 24, 2019 4:21 pm

Και διαφορετικά:

Θα αποδείξουμε το ισχυρότερο \displaystyle \frac{2x^2+y^2}{3} \leq 1 (με ΑΜ-ΓΜ παίρνουμε το ζητούμενο x^2y \leq 1).

Αν x\leq 1, y \leq 1 προφανώς ισχύει.

Αν x \geq 1 τότε, για να ισχύει η υπόθεση, πρέπει να έχουμε y \leq 1 και έτσι ισχύουν οι x^2 \geq x \geq y^2 μαζί με την x^2 \geq x^2 \geq y^2.

Αν y \geq 1, x \leq 1 τότε ισχύουν οι y^2 \geq x \geq x^2 μαζί με την y^2 \geq x^2 \geq x^2.

Και στις δύο περιπτώσεις με Chebyshev έχουμε \displaystyle x^4 + y^4 + x^3 \geq \frac{(x^2+y^2+x)(2x^2+y^2)}{3} το οποίο, μαζί με την υπόθεση, μας δίνει το ζητούμενο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες