Γνωστό "σύστημα"

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10932
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γνωστό "σύστημα"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 12, 2019 8:21 pm

Ένα μάλλον γνωστό θέμα : Αν : x^3-3x^2+5x=1

και y^3-3y^2+5y=5 , βρείτε το x+y.

Υποθέτω ότι επιδέχεται διάφορες προσεγγίσεις ...



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γνωστό "σύστημα"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 12, 2019 10:14 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 12, 2019 8:21 pm
Ένα μάλλον γνωστό θέμα : Αν : x^3-3x^2+5x=1

και y^3-3y^2+5y=5 , βρείτε το x+y.
H καθεμία έχει μοναδική πραγματική ρίζα όπως φαίνεται από Rolle (για παράδειγμα η δεύτερη έχει παράγωγο 3y^2 -6y+5 που δεν έχει ρίζες αφού έχει αρνητική διακρίνουσα). Θέτοντας x=2-t στην πρώτη, δίνει μετά από τις απλές πράξεις την εξίσωση t^3-3t^2+5t=5. Την αναγνωρίζουμε ως την δεύτερη εξίσωση! Άρα x=2-t=y, από όπου x+y=2.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γνωστό "σύστημα"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 12, 2019 10:39 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 12, 2019 8:21 pm
Ένα μάλλον γνωστό θέμα : Αν : x^3-3x^2+5x=1

και y^3-3y^2+5y=5 , βρείτε το x+y.

Υποθέτω ότι επιδέχεται διάφορες προσεγγίσεις ...
Ναι, υπάρχουν πολλές λύσεις. Άλλη μία: Προσθέτουμε κατά μέλη. Με χρήση της ταυτότητας x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) εύκολα την παραγοντοποιούμε ως

(x+y-2)(x^2+y^2-xy-x-y+3)=0.

Η δεύτερη παρένθεση είναι γνήσια θετική αφού γράφεται \left (x-\frac {1}{2}(y+1)\right )^2+\frac {3}{4}(y-1)^2 +3 \ge 3. Άρα x+y-2=0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες