Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Καλησπέρα, το παρακάτω αποτελεί την πρώτη μου δημοσίευση στο mathematica.
Είναι ένα θέμα εμπνευσμένο από μια άσκηση του βιβλίου "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 1" Χαράλαμπου Στεργίου και Σιλουανού Μπραζιτίκου.
Έχω βρεί μια λύση εγώ αλλα θα ήθελα και άλλες ιδέες.
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείχθεί πως:
Πότε ισχύει η ισότητα;
(Ζητώ συγνώμη για αυτή την άβολη χρήση LaTex.)
Είναι ένα θέμα εμπνευσμένο από μια άσκηση του βιβλίου "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 1" Χαράλαμπου Στεργίου και Σιλουανού Μπραζιτίκου.
Έχω βρεί μια λύση εγώ αλλα θα ήθελα και άλλες ιδέες.
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείχθεί πως:
Πότε ισχύει η ισότητα;
(Ζητώ συγνώμη για αυτή την άβολη χρήση LaTex.)
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Μια απόδειξη, αλλά είμαι σίγουρος ότι υπάρχουν και άλλες:
Λόγω ομογένειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι Οπότε έχουμε να αποδείξουμε ότι
Από την ΑΜ-ΓΜ είναι
,
οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι
Αυτή είναι συνέπεια των και
Για την πρώτη:
Από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε
άρα
αφού από ΑΜ-ΓΜ είναι
Για τη δεύτερη εργαζόμαστε αναλόγως, βασιζόμενοι στην
Λόγω ομογένειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι Οπότε έχουμε να αποδείξουμε ότι
Από την ΑΜ-ΓΜ είναι
,
οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι
Αυτή είναι συνέπεια των και
Για την πρώτη:
Από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε
άρα
αφού από ΑΜ-ΓΜ είναι
Για τη δεύτερη εργαζόμαστε αναλόγως, βασιζόμενοι στην
Μάγκος Θάνος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
καλώς όρισες στο mathematica.gr
και, παρεμπιπτόντως,
και, παρεμπιπτόντως,
η γραφή του τύπου είναι άψογη.
Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Έχουμε ότι
Κάνοντας το ίδιο στα άλλα μέλη προκύπτει και
Αρκεί να αποδείξουμε ότι
Όμοια δουλεύουμε και στα υπόλοιπα μέλη και προκύπτει το ζητούμενο.
Edit:Η λύση είναι λανθασμένη
Κάνοντας το ίδιο στα άλλα μέλη προκύπτει και
Αρκεί να αποδείξουμε ότι
Όμοια δουλεύουμε και στα υπόλοιπα μέλη και προκύπτει το ζητούμενο.
Edit:Η λύση είναι λανθασμένη
τελευταία επεξεργασία από Prødigy σε Δευ Μαρ 11, 2019 11:20 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Καλησπέρα.gschwindi έγραψε: ↑Δευ Μαρ 11, 2019 6:40 pmΚαλησπέρα, το παρακάτω αποτελεί την πρώτη μου δημοσίευση στο mathematica.
Είναι ένα θέμα εμπνευσμένο από μια άσκηση του βιβλίου "Μαθηματικοί Διαγωνισμοί 1" Χαράλαμπου Στεργίου και Σιλουανού Μπραζιτίκου.
Έχω βρεί μια λύση εγώ αλλα θα ήθελα και άλλες ιδέες.
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείχθεί πως:
Πότε ισχύει η ισότητα;
(Ζητώ συγνώμη για αυτή την άβολη χρήση LaTex.)
Από Cauchy-Schwarz προκύπτει , οπότε αρκεί .
Όμως, από Cheybychev (ή Cauchy-Schwarz) προκύπτει , οπότε αρκεί , που είναι η ΑM-GM.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Και ένα διαφορετικό τελείωμα:
Έχουμε να αποδείξουμε ότι
όταν
Αυτό είναι συνέπεια της ανισότητας
η οποία π.χ. αποδεικνύεται με τη βοήθεια της
Μάγκος Θάνος
Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Βάζω και εγώ την μία από τις δύο λύσεις μου, για να αφήσω και άλλους να βρουν την άλλη. Παρατηρούμε πως
, με ισότητα και στα τρία μέλη αν και μόνο αν .
Εφαρμόζοντας κυκλικά το ίδιο και αθροίζοντας, παίρνουμε την προς απόδειξη.
, με ισότητα και στα τρία μέλη αν και μόνο αν .
Εφαρμόζοντας κυκλικά το ίδιο και αθροίζοντας, παίρνουμε την προς απόδειξη.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Λίγο διαφορετικά από τον Ορέστη:
Από Cauchy-Schwarz (ή ανισότητα δυνάμεων) και ΑΜ-ΓΜ έχουμε:
Πάλι από ΑΜ-ΓΜ έχουμε και
Πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε το ζητούμενο.
Από Cauchy-Schwarz (ή ανισότητα δυνάμεων) και ΑΜ-ΓΜ έχουμε:
Πάλι από ΑΜ-ΓΜ έχουμε και
Πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε το ζητούμενο.
Re: Ανισότητα με τρείς μεταβλητές
Ας το δούμε και αλλιώς.
Θα μπορούσε κάποιος να προσεγγίσει το θέμα και ως εξής:
Απο C.S είναι . Ισότητα όταν
Θέτουμε
Τότε, , ισότητα όταν
Κάνοντας το ίδιο και αθροίζοντας τα τρία κλάσματα παίρνουμε ότι,
.
Απο όπου το ζητούμενο έπεται.
Για να ισχύει η ισότητα, μεταξύ των δύο άκρων πρέπει να ισχύει η ισότητα μεταξύ του μέσου και των δυο άκρων. Αυτή επιτυγχάνεται όταν
Θα μπορούσε κάποιος να προσεγγίσει το θέμα και ως εξής:
Απο C.S είναι . Ισότητα όταν
Θέτουμε
Τότε, , ισότητα όταν
Κάνοντας το ίδιο και αθροίζοντας τα τρία κλάσματα παίρνουμε ότι,
.
Απο όπου το ζητούμενο έπεται.
Για να ισχύει η ισότητα, μεταξύ των δύο άκρων πρέπει να ισχύει η ισότητα μεταξύ του μέσου και των δυο άκρων. Αυτή επιτυγχάνεται όταν
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες