Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

KARKAR · #1

: Τριήμερο.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 1652 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC

, επιλέξτε σημείο

της

, ώστε :

#2

Η μάλλον είναι η διχοτόμος αλλά δεν το απέδειξα ακόμη γιατί έχω και άλλες δουλειές .

Ανδρέας Πούλος · #3

Η κατασκευή του σημείου δίνεται στο συνημμένο σχήμα.

#4

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 7:59 pm
Η μάλλον είναι η διχοτόμος αλλά δεν το απέδειξα ακόμη γιατί έχω και άλλες δουλειές .

Σωστά.

Γράφουμε γωνία $\angle ABD =10 ^o$ και

διχοτόμος. Τα υπόλοιπα άμεσα από το σχήμα. Τότε αν AB=a

, είναι $BC= 2a \sin 10$ (άμεσο). Επίσης από τον νόμο των ημιτόνων στο ABS

είναι $AD:\sin 10 = a:\sin 150= 2a$ , άρα $BC=2a\sin 10 = AD$ . Οπότε AS=AD+DS=BC+BS

.

#5

Καλησπέρα σε όλους. Ο Νίκος έχει δίκιο. Δίνω μια απόδειξη με μια Τριγωνομετρική Πανδαισία που τρομάζει ακόμα και τους πιο πωρωμένους, όπως ο υπογράφων...

Έστω $\displaystyle \widehat {ABS} = \varphi \Rightarrow \widehat {SBC} = 80^\circ - \varphi$

Στο ABS

είναι $\displaystyle AS = 2R\eta \mu \varphi$ και $\displaystyle BS = 2R\eta \mu 20^\circ$

Στο SBC

είναι $\displaystyle \frac{{CB}}{{\eta \mu \left( {160^\circ - \varphi } \right)}} = \frac{{BS}}{{\eta \mu 80^\circ }} \Leftrightarrow CB = BS \cdot \frac{{\eta \mu \left( {20^\circ + \varphi } \right)}}{{\sigma \upsilon \nu 10^\circ }}$

Οπότε $\displaystyle BS + CB = AS \Leftrightarrow \eta \mu 20^\circ + \frac{{\eta \mu 20^\circ \cdot \eta \mu \left( {20^\circ + \varphi } \right)}}{{\sigma \upsilon \nu 10^\circ }} = \eta \mu \varphi$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ \cdot \eta \mu \left( {20^\circ + \varphi } \right) = \eta \mu \varphi - \eta \mu 20^\circ$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ \cdot 2\eta \mu \left( {10^\circ + \frac{\varphi }{2}} \right)\sigma \upsilon \nu \left( {10^\circ + \frac{\varphi }{2}} \right) = 2\eta \mu \left( {\frac{\varphi }{2} - 10^\circ } \right)\sigma \upsilon \nu \left( {\frac{\varphi }{2} + 10^\circ } \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ \cdot \eta \mu \left( {10^\circ + \frac{\varphi }{2}} \right) = \eta \mu \left( {\frac{\varphi }{2} - 10^\circ } \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow 2\eta \mu 10^\circ \cdot \eta \mu \left( {10^\circ + \frac{\varphi }{2}} \right) = 2\eta \mu 30^\circ \cdot \eta \mu \left( {\frac{\varphi }{2} - 10^\circ } \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\varphi }{2} - \sigma \upsilon \nu \left( {20^\circ + \frac{\varphi }{2}} \right) = \sigma \upsilon \nu \left( {40^\circ - \frac{\varphi }{2}} \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {20^\circ + \frac{\varphi }{2}} \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\varphi }{2} = \sigma \upsilon \nu \left( {40^\circ - \frac{\varphi }{2}} \right)$ , η οποία στο διάστημα $\displaystyle \left( {0^\circ ,80^\circ } \right)$ έχει μοναδική λύση $\displaystyle \varphi = 40^\circ$ .

#6

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 8:22 pm
Η κατασκευή του σημείου δίνεται στο συνημμένο σχήμα.

: ασκηση KARKAR.png (55.69 KiB) Προβλήθηκε 1581 φορές

Ανδρέα καλησπέρα. Δεν ξέρω αν απευθύνεσαι στους νεότερους, αλλά εμείς οι 50 plus αρχίζουμε να μην διακρίνουμε καθαρά τις λεπτομέρειες σε σχήματα όπως το συνημμένο!

#7

Φέρνω τη διχοτόμο

και θέτω: $AB = AC = b\,\,,\,\,BS = y,\,\,AS = x\,\,,\,\,SC = z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = a$ . Αρκεί να δείξω ότι $x = a + y\,\,\,(1)$ έχω :

: Η ανακάλυψη του τριημέρου.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 1568 φορές

$\left\{ \begin{gathered} b = x + s \hfill \\ B{S^2} = BC \cdot BA - SC \cdot SA\,\, \hfill \\ BS \cdot BA = S{A^2} - B{S^2}\,\,\,\left( {\widehat {SBA} = 2\widehat A} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} b = x + s\,\,\,(2) \hfill \\ {y^2} = ab - xz\,\,\,(3)\, \hfill \\ yb = {x^2} - {y^2}\,\,\,(4)\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Από τις $(3)\;\,\kappa \alpha \iota \,\,(4)$ :

${x^2} - by = ab - xz \Leftrightarrow {x^2} + xz = ab + by \Leftrightarrow x(x + z) = b(a + y)$ και λόγω της (2)

Έχω το ζητούμενο : $\boxed{x = a + y}$

Ανδρέας Πούλος · #8

Εϊδα την υπόδειξη του Γιώργου, πήγα να κάνω λίγο μεγαλύτερο σχήμα και μου βγήκε αυτή η πατάτα.
Δεν έχω τρόπο για να ελέγχω το μέγεθος της εικόνας.
Δεν το κάνω επίτηδες.

#9

Το σχήμα του Ανδρέα.

: Το σχήμα του Ανδρέα.jpg (33.77 KiB) Προβλήθηκε 1551 φορές

Θα πω τι κάνω εγώ όταν εισάγω σχήμα από το Geogebra. Πιθανόν να υπάρχει καλύτερη μέθοδος.

Στην εξαγωγή του σχήματος ως png αλλάζω την αναλογία βήματος π.χ. από 1 προς 10 σε 1 προς 5 κοιτώντας το μέγεθος να μην ξεπερνά τα 18x20

εκατοστά και κάνω μερικές προεπισκοπήσεις για να πετύχω λογικό αποτέλεσμα.

#10

Κατασκευή

Θεωρώ τη συμμετρική ευθεία της

με άξονα συμμετρία την

και η ευθεία

την τέμνει στο

.

Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle BAT$ και τέμνει ακόμα τη

στο

που είναι αυτό που ζητώ .

Απόδειξη

: Η ανακάλυψη του τριημέρου_κατασκευή Φράγκου.png (32.65 KiB) Προβλήθηκε 1536 φορές

Επειδή η

διχοτομεί τη $\widehat {TAC}$ άρα $BS = BT\,\,(1)$ . Το τρίγωνο ACT

έχει τη μια γωνία του $80^\circ$ την άλλη ( στο

) $20^\circ + 20^\circ = 40^\circ$ , συνεπώς $\widehat {ATC} = 60^\circ$ .

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ATBS

έχω ότι $\widehat {CBS} = 40^\circ \Rightarrow \widehat {BSC} = \widehat {BTC} = 20^\circ$

Μα τώρα τα τρίγωνα : $\vartriangle TSC \to (20^\circ ,80^\circ ,80^\circ )\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SAT \to (100^\circ ,40^\circ ,40^\circ )$

Θα είναι έτσι AS = SC = CT = CB + BT = CB + BS

.

KARKAR · #11

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 7:59 pm
Η μάλλον είναι η διχοτόμος .

Για την ακρίβεια , η αρχική μου διατύπωση ήταν : Αν

διχοτόμος , δείξτε ότι : CB+BS=AS

.

Θέλοντας να την κάνω πιο "εφετζίδικη " , έδωσα αυτή τη διατύπωση , η οποία έδωσε το "δικαίωμα"

στην ωραία κατασκευή του Ανδρέα - αλλά η οποία γίνεται σε κάθε περίπτωση ( αρκεί AC >2BC

) -

και στους υπολοίπους να βρουν την "ανακάλυψη" , η οποία μπορεί να προκύψει και κατ' ευθείαν από

το σχήμα του Ανδρέα .

Σημ. Με δεξί κλικ πάνω στο σημείο και στη συνέχεια ...ιδιότητες , διορθώνονται πολλά ...

Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Re: Η ανακάλυψη ( ή η πατάτα ) του τριημέρου

Μέλη σε σύνδεση