Τρίγωνο-114.

Συντονιστές: silouan, george visvikis, Doloros

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1081
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο-114.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Δεκ 30, 2018 2:07 pm

1.png
1.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB=AC.

Ο περίκυκλος του τριγώνου CDA, τέμνει τη BC στο σημείο E.

Δείξτε ότι BE=CD.



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 167
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Τρίγωνο-114.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Δεκ 30, 2018 3:05 pm

Καλησπέρα!

\widehat{BAC}=180-2\cdot 30=120^{\circ}\Leftrightarrow \widehat{EAC}=120^{\circ}-50^{\circ}=70^{\circ}

Επειδή \widehat{ABC}=\widehat{ACB} έχουμε 3\theta =30^{\circ}\Leftrightarrow \vartheta =10^{\circ}

Άρα \widehat{CDA}=180-70-10=100^{\circ}

Προεκτείνουμε την AD και τέμνει την BC στο L.

Είναι \widehat{LDC}=\widehat{CLD}=80^{\circ} \,\,\,\alpha \varphi o \dot{\upsilon} \,\,\, \widehat{LDC}=180-100=80^{\circ} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\ \widehat{CLD}=180-30-70=80^{\circ}
Άρα το τρίγωνο DCL είναι ισοσκελές άρα CL=CD

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι BE=CL δηλαδή ότι BL=CE.

Είναι \widehat{LAC}=\widehat{ECD}=20^{\circ}\,\,\,\ \dot{\alpha} \varrho \alpha \,\,\, \widehat{LEA}=80^{\circ}

Τα τρίγωνα BLA και  EAC είναι ίσα αφού έχουν \widehat{BLA}=\widehat{CEA}=100^{\circ}\,\,\,,AL=AE \,\,\, \alpha \varphi o\upsilon \,\, \tau o ALE \,\,\, \varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,\, \iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma και \widehat{BAL}=\widehat{EAC}=50^{\circ}

Άρα BL=EC .
Συνημμένα
2.PNG
2.PNG (50.88 KiB) Προβλήθηκε 254 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1559
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο-114.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Δεκ 30, 2018 9:35 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 2:07 pm
1.png

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB=AC.

Ο περίκυκλος του τριγώνου CDA, τέμνει τη BC στο σημείο E.

Δείξτε ότι BE=CD.

Ο κύκλος \displaystyle \left( {A,AB} \right) τέμνει τον \displaystyle \left( {A,D,C} \right) στο \displaystyle F

Επειδή \displaystyle \angle DAE = {20^0} \Rightarrow \angle AEB = \angle AFC = {80^0},άρα \displaystyle \angle CAF = {20^0}

Αλλά \displaystyle \angle DEB = \angle DAC = {70^0},άρα \displaystyle \angle EAC = {50^0} και η \displaystyle AE ως διχοτόμος του \displaystyle \vartriangle ABF θα είναι

και μεσοκάθετος,επομένως \displaystyle BE = EF

Επειδή \displaystyle \angle DEC = ECF = {110^0} \Rightarrow DECF ισοσκελές τραπέζιο άρα \displaystyle \boxed{DC = EF = BE}
T-114.png
T-114.png (154.12 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7806
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο-114.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιαν 01, 2019 10:34 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Δεκ 30, 2018 2:07 pm
1.png

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC με AB=AC.

Ο περίκυκλος του τριγώνου CDA, τέμνει τη BC στο σημείο E.

Δείξτε ότι BE=CD.
Καλή Χρονιά σε όλους!
Τρίγωνο 114.png
Τρίγωνο 114.png (26.29 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές
Έστω O, K τα περίκεντρα των AEC, ABE. Οι κύκλοι έχουν κοινή χορδή AE και \displaystyle A\widehat CE = A\widehat BE = 30^\circ , άρα είναι ίσοι.

\displaystyle B\widehat AE = D\widehat AC = 70^\circ  \Leftrightarrow B\widehat KE = D\widehat OC = 140^\circ, οπότε τα τρίγωνα KBE, ODC είναι ίσα και \boxed{BE=CD}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες