Ο φόβος της Β'

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10881
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ο φόβος της Β'

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 12, 2018 7:19 pm

Ο  φόβος της  Β'.png
Ο φόβος της Β'.png (5.84 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές
Τα σημεία M,N είναι τα μέσα των πλευρών BC,CD του , μεταβλητής πλευράς a ,

ορθογωνίου ABCD . Τα τμήματα AM και AN σχηματίζουν τη γωνία \theta .

α) Βρείτε τύπο ο οποίος να δίνει την \tan\theta , συναρτήσει των πλευρών a,b .

β) Ποια σχέση πρέπει να συνδέει τις πλευρές του τριγώνου , ώστε : \theta=30^0 ;

γ) Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή της \tan\theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4415
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ο φόβος της Β'

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Δεκ 12, 2018 8:06 pm

Καλησπέρα σε όλους. Ποιον φοβάται ή Β' ή ποιος φοβάται τη Β' ;

Η γενική: "της Β' " είναι υποκειμενική ή αντικειμενική ;

Και ... ποια είναι αυτή η Β' ; :shock:

Κρατώ, βεβαίως, το σχήμα του Θανάση.

α) Έστω  \displaystyle a \ge b . Είναι  \displaystyle \sigma \varphi \left( {{\rm M}{\rm A}{\rm B}} \right) = \frac{{2a}}{b},\;\;\sigma \varphi \left( {D{\rm A}N} \right) = \frac{{2b}}{a} , οπότε

 \displaystyle \varepsilon \varphi \theta  = \varepsilon \varphi \left( {90^\circ  - \widehat {{\rm M}{\rm A}{\rm B}} - \widehat {DAN}} \right) = \sigma \varphi \left( {\widehat {{\rm M}{\rm A}{\rm B}} + \widehat {DAN}} \right) = \frac{{\frac{{2a}}{b} \cdot \frac{{2b}}{a} - 1}}{{\frac{{2a}}{b} + \frac{{2b}}{a}}} = \frac{{3ab}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} .

β)  \displaystyle \theta  = 30^\circ  \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \theta  = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \frac{{3ab}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow 9ab = 2\sqrt 3 \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + \frac{{2\sqrt 3 }}{9} , που δίνει  \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{{3\sqrt 3  + \sqrt {11} }}{4}

γ) Είναι  \displaystyle 2ab \le {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow \frac{{3ab}}{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}} \le \frac{3}{4} , με το μέγιστο όταν a=b, δηλαδή στο τετράγωνο.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10881
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ο φόβος της Β'

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 12, 2018 8:59 pm

Η άλλη ομάδα
Ο  φόβος της  Β'.β.png
Ο φόβος της Β'.β.png (9.01 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές
Το σημείο M είναι τα μέσο της πλευράς AC του , μεταβλητής πλευράς a , τριγώνου \displaystyle ABC ,

ενώ το ίχνος του σταθερού ύψους AD=h , διαιρεί την βάση BC σε λόγο : \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{1}{2}
Τα τμήματα MB και BD σχηματίζουν τη γωνία \theta .

α) Βρείτε τύπο ο οποίος να δίνει την \tan\theta , συναρτήσει των x,h .

β) Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή της \tan\theta .

Η Β' είναι η τάξη του Λυκείου , στην οποία θεωρητικά οι μαθητές αποκτούν στοιχειώδεις γνώσεις ,

οι οποίες μπορούν να αποτελούν βάση για ερωτήματα της Ανάλυσης . "Ο φόβος έπεται ... "


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11504
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ο φόβος της Β'

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 12, 2018 9:25 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 12, 2018 8:59 pm
Η άλλη ομάδα

Ο φόβος της Β'.β.pngΤο σημείο M είναι τα μέσο της πλευράς AC του , μεταβλητής πλευράς a , τριγώνου \displaystyle ABC ,

ενώ το ίχνος του σταθερού ύψους AD=h , διαιρεί την βάση BC σε λόγο : \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{1}{2}
Τα τμήματα MB και BD σχηματίζουν τη γωνία \theta .

α) Βρείτε τύπο ο οποίος να δίνει την \tan\theta , συναρτήσει των x,h .

β) Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή της \tan\theta .

Η Β' είναι η τάξη του Λυκείου , στην οποία θεωρητικά οι μαθητές αποκτούν στοιχειώδεις γνώσεις ,

οι οποίες μπορούν να αποτελούν βάση για ερωτήματα της Ανάλυσης . "Ο φόβος έπεται ... "
\displaystyle{\tan \theta = \tan (\angle NMB - \angle NMD) = \dfrac {   \tan (\angle NMB) - \tan (\angle NMD)  }{1+  \tan (\angle NMB)  \tan (\angle NMD) }=}

\displaystyle{ = \dfrac {  \dfrac {x+x}{h/2} - \dfrac {x}{h/2}  }{1+   \dfrac {x+x}{h/2} \cdot \dfrac {x}{h/2}}=\dfrac {  2xh}{h^2+8x^2} = \dfrac {2 ( 
2\sqrt   2x)h}{h^2+(2\sqrt 2x)^2}  \cdot \frac {\sqrt 2}{4} \le \frac {\sqrt 2}{4} } με ισότητα όταν  h=2\sqrt 2x


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4415
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ο φόβος της Β'

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Δεκ 12, 2018 9:36 pm

Αναρτώ το σχήμα του Μιχάλη, όπου N το ίχνος του M στη BC.


12-12-2018 Γεωμετρία.jpg
12-12-2018 Γεωμετρία.jpg (77.64 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Αφού πρέπει να φέρουμε "βοηθητική", έστω και προφανή, ίσως ο "φόβος της Β' " να αναφέρεται στους μαθητές της ομάδας Β' .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ο φόβος της Β'

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 13, 2018 12:36 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Δεκ 12, 2018 8:59 pm
Η άλλη ομάδα

Ο φόβος της Β'.β.pngΤο σημείο M είναι τα μέσο της πλευράς AC του , μεταβλητής πλευράς a , τριγώνου \displaystyle ABC ,

ενώ το ίχνος του σταθερού ύψους AD=h , διαιρεί την βάση BC σε λόγο : \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{1}{2}
Τα τμήματα MB και BD σχηματίζουν τη γωνία \theta .

α) Βρείτε τύπο ο οποίος να δίνει την \tan\theta , συναρτήσει των x,h .

β) Υπολογίστε τη μέγιστη τιμή της \tan\theta .

Η Β' είναι η τάξη του Λυκείου , στην οποία θεωρητικά οι μαθητές αποκτούν στοιχειώδεις γνώσεις ,

οι οποίες μπορούν να αποτελούν βάση για ερωτήματα της Ανάλυσης . "Ο φόβος έπεται ... "
Για να δούμε χωρίς να φέρουμε βοηθητική (την έχουμε όμως στο μυαλό μας (*)).
Ποιος φόβος...png
Ποιος φόβος...png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές
\displaystyle \theta  = \varphi  - \omega  = \widehat C - \omega  \Rightarrow \tan \theta  = \dfrac{{\dfrac{h}{{2x}} - \dfrac{h}{{4x}}}}{{1 + \dfrac{{{h^2}}}{{8{x^2}}}}} \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  = \frac{{2hx}}{{8{x^2} + {h^2}}}}

Τα υπόλοιπα, όπως ο Μιχάλης ή με παραγώγους. Θεωρώ συνάρτηση \displaystyle f(x) = \tan \theta  = \frac{{2hx}}{{8{x^2} + {h^2}}}

\displaystyle f'(x) = \frac{{2h({h^2} - 8{x^2})}}{{{{(8{x^2} + {h^2})}^2}}} που παρουσιάζει μέγιστο για \boxed{x = \frac{{h\sqrt 2 }}{4}} ίσο με \boxed{f\left( {\frac{{h\sqrt 2 }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}}

(*) Έχοντας στο μυαλό μας τη βοηθητική, βρίσκουμε \displaystyle \tan \omega  = \frac{{\frac{h}{2}}}{{2x}} = \frac{h}{{4x}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες