Yπάρχει ο αριθμός;

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Yπάρχει ο αριθμός;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Αύγ 03, 2018 11:02 am

Υπάρχει τέτοιος αριθμός a ώστε οι αριθμοί 3a^{2}\sqrt{3} και a+\sqrt{3} να είναι ακέραιοι αριθμοί;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3977
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 03, 2018 11:04 am

Xriiiiistos έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 11:02 am
Υπάρχει τέτοιος αριθμός a ώστε οι αριθμοί \alpha = 3a^{2}\sqrt{3} και \beta = a+\sqrt{3} να είναι ακέραιοι αριθμοί;
Χάνω κάτι ; Αν πάρουμε a=-\sqrt{3} τότε \beta =0 \in \mathbb{Z} και \alpha = 9 \in \mathbb{Z}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Αύγ 03, 2018 11:27 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 11:04 am
Xriiiiistos έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 11:02 am
Υπάρχει τέτοιος αριθμός a ώστε οι αριθμοί \alpha = 3a^{2}\sqrt{3} και \beta = a+\sqrt{3} να είναι ακέραιοι αριθμοί;
Χάνω κάτι ; Αν πάρουμε a=-\sqrt{3} τότε \beta =0 \in \mathbb{Z} και \alpha = 9 \in \mathbb{Z}.
An a=-\sqrt{3} τότε ο πρώτος ααριθμός γίνεται 3(-\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}=9\sqrt{3} το οπόιο δεν είναι ακέραιος


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2580
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Αύγ 03, 2018 12:24 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Παρ Αύγ 03, 2018 11:02 am
Υπάρχει τέτοιος αριθμός a ώστε οι αριθμοί 3a^{2}\sqrt{3} και a+\sqrt{3} να είναι ακέραιοι αριθμοί;
Νομίζω ότι είναι σχετικά απλό.

Αν a+\sqrt{3}=k με k\in \mathbb{Q}

τότε 3a^{2}\sqrt{3}=3(k-\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}=3(k^{2}+3)\sqrt{3}-18k

Αν λοιπόν 3a^{2}\sqrt{3}=r\in \mathbb{Q} τότε \sqrt{3}=\dfrac{18k+r}{3(k^{2}+3)}\in \mathbb{Q}

που προφανώς είναι ΑΤΟΠΟ.

Αρα δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός a ώστε οι αριθμοί 3a^{2}\sqrt{3} και a+\sqrt{3} να είναι ρητοί αριθμοί,

οπότε δεν υπάρχει ωστε να είναι ακέραιοι.


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Σάβ Αύγ 04, 2018 12:41 am

Λάθος λύση
τελευταία επεξεργασία από Κω.Κωνσταντινίδης σε Δευ Νοέμ 19, 2018 10:50 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Αύγ 04, 2018 6:33 am

Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Σάβ Αύγ 04, 2018 12:19 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 6:33 am
Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??
Λάθος μου. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την διόρθωσα αλλά μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Αύγ 04, 2018 12:23 pm

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:19 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 6:33 am
Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??
Λάθος μου. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την διόρθωσα αλλά μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω.
Σε αυτή την άσκηση το νόημα είναι να διώξεις το α για το οποίο δεν ξέρεις κάτι. Νομίζω ότι ο μοναδικός τρόπος είναι αυτός του κύριου Σταυρου


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Σάβ Αύγ 04, 2018 12:35 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:23 pm
Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:19 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 6:33 am
Γιατί το κλάσμα είναι ακέραιος??
Λάθος μου. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την διόρθωσα αλλά μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω.
Σε αυτή την άσκηση το νόημα είναι να διώξεις το α για το οποίο δεν ξέρεις κάτι. Νομίζω ότι ο μοναδικός τρόπος είναι αυτός του κύριου Σταυρου
Ακριβώς. Μάλιστα στον Αρχιμήδη νέων 2018 είχε τεθεί μια παρόμοια άσκηση. Οι λύση που ανέρτησε η ΕΜΕ για το θέμα αυτό ήταν ίδια με του κ.Σταύρου.
τελευταία επεξεργασία από Κω.Κωνσταντινίδης σε Τετ Αύγ 28, 2019 9:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Αύγ 04, 2018 12:53 pm

Το νόημα της άσκησης έχει πέσει κ;ι παλιότερα στην Ελλάδα αλλά και σε άλλες χωρες!!! :)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 04, 2018 1:45 pm

Παρ' όλη την διόρθωση, υπάρχουν θέματα.

Ένα δευτερεύον είναι εδώ
Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:41 am
\varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})}
αφού κάτι λείπει δεξιά του " \Leftrightarrow " . Υποθέτω ότι εννοείς \varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1.

Ας το παραβλέψουμε αυτό. Το κύριο σημείο είναι
Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:41 am
Άρα \alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2} είναι ακέραιος αφού ο \varepsilon είναι ακέραιος.
Για παράδειγμα το \epsilon = 54 είναι ακέραιος και ισχύει   \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1 για a=\sqrt 3, αλλά το a δεν είναι ακέραιος.


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Σάβ Αύγ 04, 2018 2:39 pm

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 12:41 am
\varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})}
αφού κάτι λείπει δεξιά του " \Leftrightarrow " . Υποθέτω ότι εννοείς \varepsilon =3\alpha ^{3}\sqrt{3}+9\alpha ^{2}\Leftrightarrow \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1.

Ακριβώς κ.Λάμπρου. Δεν ξέρω γιατί σε Latex δεν μου έβγαινε.


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Σάβ Αύγ 04, 2018 2:45 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 1:45 pm
Για παράδειγμα το \epsilon = 54 είναι ακέραιος και ισχύει   \frac{\varepsilon }{3(\alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2})} =1 για a=\sqrt 3, αλλά το a δεν είναι ακέραιος.
[/quote]

Δεν λέει η άσκηση κάπου ότι ο α είναι ακέραιος. Εϊπα γενικότερα ότι το \alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2} είναι ακέραιος. Σας υπερευχαριστώ για τις επισημάνσεις.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Yπάρχει ο αριθμός;

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 04, 2018 4:18 pm

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Σάβ Αύγ 04, 2018 2:45 pm
Δεν λέει η άσκηση κάπου ότι ο α είναι ακέραιος. Εϊπα γενικότερα ότι το \alpha ^{3}\sqrt{3}+3\alpha ^{2} είναι ακέραιος. Σας υπερευχαριστώ για τις επισημάνσεις.
Έχεις δίκιο. Απροσεξία μου.

Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την αρχή: Το γεγονός ότι (όπως υποθέτουμε) οι 3a^2\sqrt 3, \, a+\sqrt 3 είναι ακέραιοι, έχει ως άμεση συνέπεια ότι το γινόμενό τους 3(a^3\sqrt 3+ 3 a^2\sqrt 3) είναι ακέραιος. Δηλαδή δεν χρειάζεται να κάνουμε ολόκληρη την μανούβρα με παραλληλόγραμμα, πολλαπλασιασμούς, ισοδυναμίες και διαιρέσεις. Έτσι η λύση είναι στην αρχή της, χωρίς κάποιο ουσιαστικό βήμα.

Αξίζει πάντως να συνεχιστεί μήπως βγάλει πλήρη λύση. Δεν αμφιβάλλω ότι θα είναι σχετικά προσιτό τρόπος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες