Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}(x, y,z)}{ \ln x + \ln y + \ln z} = - \frac{1}{2}}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά!!!

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 11, 2018 1:10 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}(x, y,z)}{ \ln x + \ln y + \ln z} = - \frac{1}{2}}$

Τόλη γεια. Ας εφαρμόσουμε ένα γνωστό κόλπο (π.χ. όπως στο $\displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{dx}$ )

Είναι $\displaystyle \int_{0}^{\infty }e^{xs}dx=-\dfrac{1}{s},(s<0).$ Άρα το ολοκλήρωμά μας

γράφεται

$\displaystyle -\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left (\int_{0}^{\infty }e^ {(\ln x + \ln y + \ln z)s}\mathrm{ds} \right )\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}$

$\displaystyle-\int_{0}^{\infty }\left (\int_{0}^{1}e^ {\ln x s} \mathrm{dx} \right )^3\mathrm{ds}= -\int_{0}^{\infty }\left (\frac{1}{1+s} \right )^3\mathrm{ds}=-\frac{1}{2}.$

Οι εναλλαγές είναι επιτρεπτές (άσκηση για εσένα όχι για τον αναγνώστη!

)

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση