προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

dimitris0101 · #1

Τι εννοεί η εκφώνηση όταν λέει :
Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) της καμπύλης :
x^2+y^2+z^2=9,x-z=0

καταλαβαίνει κάποιος;

Christos.N · #2

Έχουμε μια σφαίρα ένα επίπεδο που τέμνονται (τι σχηματίζει η τομή τους

) και στη συνέχεια θέλουμε να βρούμε την προβολή αυτής της καμπύλης στο επίπεδο xOy

.

#3

dimitris0101 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 4:02 pm
Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) στις καμπύλες :

Στην πραγματικότητα πρέπει να λέει "της καμπύλης" (μία είναι).

Προφανώς η άσκηση είναι από βιβλίο στο οποίο η εκφώνηση έχει πολλές παρόμοιες καμπύλες, σαν να λέμε α), β), ... , ω) ,
(εξ ου ο πληθυντικός) και η παραπάνω είναι απλά μία από αυτές.

dimitris0101 · #4

Ωραία άρα για να το λύσω πρέπει να αντικαταστήσω όπου χ το z ή το αντιστροφο και προκύπτει μια έλλειψη. Αυτή θα είναι η προβολή ή θα πρέπει καπως να χρησιμοποιήσω και το επίπεδο z=0 ;;

#5

dimitris0101 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 4:02 pm
Τι εννοεί η εκφώνηση όταν λέει :
Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) στις καμπύλες :

καταλαβαίνει κάποιος;

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 4:14 pm
Έχουμε μια σφαίρα ένα επίπεδο που τέμνονται (τι σχηματίζει η τομή τους ) και στη συνέχεια θέλουμε να βρούμε την προβολή αυτής της καμπύλης στο επίπεδο .

Καλησπέρα...

Το εξήγησε σωστά ο Χρήστος. Απλά εγώ θα κάνω κι ένα σχήμα.

Πριν όμως πούμε κάτι, πρέπει να σημειωθεί ότι στην εκφώνηση "στις καμπύλες" προφανώς θέλει η φράση "της καμπύλης",
δηλαδή της καμπύλης που ορίζει η συγκεκριμένη σφαίρα και το δοθέν επίπεδο που είναι το διχοτομούν
επίπεδο της διέδρου που σχηματίζουν τα επίπεδα $\displaystyle{xOy}$ και $\displaystyle{yOz}$ .

Σχήμα 1

: Προβολή καμπύλης σε επίπεδο 2.png (41.23 KiB) Προβλήθηκε 3911 φορές

Σημειώνεται ότι ο άξονας των $\displaystyle{x'x}$ είναι ο κόκκινος, των $\displaystyle{y'y}$ είναι ο πράσινος και των $\displaystyle{z'z}$ ο γαλάζιος.
Όπως φαίνεται το επίπεδο αυτό, επειδή διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας θα τέμνει αυτή κατά
ένα μέγιστο κύκλο.
Η εξίσωση του κύκλου αυτού μπορεί να γραφεί΄και με αναλυτική γραφή(δεν είναι επί του παρόντος...).

Σχήμα 2

: Προβολή καμπύλης σε επίπεδο 1.png (34.75 KiB) Προβλήθηκε 3911 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνονται και οι δύο διάμετροι του κύκλου αυτού που είναι
οι $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ .
Κατά την ορθή προβολή επί του οριζοντίου επιπέδου η μία δηλ. η $\displaystyle{AB}$ παραμένει
αμετάβλητη ενώ η δεύτερη γίνεται μικρότερη κατά το $\displaystyle{cos(\frac{\pi}{4})}$ .

Σχήμα 3

: Προβολή καμπύλης σε επιφάνεια 3.png (40.76 KiB) Προβλήθηκε 3911 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται η έλλειψη που είναι προβολή του μέγιστου κύκλου
στο οριζόντιο επίπεδο. Εύκολα βρίσκεται και η εξισωσή της.

Κώστας Δόρτσιος

dimitris0101 · #6

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ . Η απάντησή σας με κάλυψε πλήρως, απλώς θα ήθελα να ξέρω αν η απάντηση που παρέθεσα παραπάνω ταυτίζεται με την λύση σας καθώς σε επιφάνειες περιπλοκότερες της σφαίρας η γεωμετρική επίλυση θα ήταν επίπονη.

#7

Μια γενική μέθοδος της προβολής μιας καμπύλης

του $\mathbb{R}^3$ σε ένα από τα επίπεδα που ορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων είναι να έχουμε μια παραμετρική παράσταση $\vec{c}(t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,, \; t\in I\,,$ της καμπύλης και κατόπιν να εισάγουμε σε αυτήν, την συνθήκη του αντίστοιχου επιπέδου.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση, μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης

που είναι τα κοινά σημεία της σφαίρας x^2+y^2+z^2=3^2

και του επιπέδου x=z

είναι η(*)

$\vec{c}(t)=\big(3\sin{t},\,3\cos{t}\,\sqrt{1-\tan^2{t}},\,3\sin{t}\big)\,, \; t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,.$
Επειδή θέλουμε την προβολή της στο επίπεδο z=0

, η ζητούμενη καμπύλη c_p

έχει παραμετρική παράσταση

$\vec{c}_p(t)=\big(3\sin{t},\,3\cos{t}\,\sqrt{1-\tan^2{t}},\,0\big)\,, \; t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,.$

: curve_proj.png (41.54 KiB) Προβλήθηκε 3886 φορές

(*) Από την παραμετρική παράσταση $\vec{R}:[0,2\pi]\times\bigl[{-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}}\bigr]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,,\; \vec{R}(\varphi,\vartheta)=\bigl({3 \cos\varphi\,\cos\vartheta,\,3\sin\varphi\,\cos\vartheta,\,3\sin\vartheta}\bigr)$
της σφαίρας x^2+y^2+z^2=3^2

και την συνθήκη

$\begin{aligned} x=z\quad&\Longrightarrow\quad \cos\varphi\,\cos\vartheta=\sin\vartheta\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\tan\vartheta\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{t=\vartheta}{\Longrightarrow}\quad \left\{\begin{array}{l} \cos\varphi=\tan{t}\\ sin\varphi=\sqrt{1-\tan^2{t}} \end{array}\right\}\,, \; t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,, \end{aligned}$

προκύπτει

$\begin{aligned} \vec{c}(t)&=\bigl({3 \tan{t}\,\cos{t},\,3\sqrt{1-\tan^2{t}}\,\cos{t},\,3\sin{t}}\bigr)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\big(3\sin{t},\,3\cos{t}\,\sqrt{1-\tan^2{t}},\,3\sin{t}\big)\,, \;t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,. \end{aligned}$

#8

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 6:30 pm
Μια γενική μέθοδος της προβολής μιας καμπύλης του $\mathbb{R}^3$ σε ένα από τα επίπεδα που ορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων είναι να έχουμε μια παραμετρική παράσταση $\vec{c}(t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,, \; t\in I\,,$ της καμπύλης και κατόπιν να εισάγουμε σε αυτήν, την συνθήκη του αντίστοιχου επιπέδου.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση, μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης που είναι τα κοινά σημεία της σφαίρας και του επιπέδου είναι η(*)

$\vec{c}(t)=\big(3\sin{t},\,3\cos{t}\,\sqrt{1-\tan^2{t}},\,3\sin{t}\big)\,, \; t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,.$
Επειδή θέλουμε την προβολή της στο επίπεδο , η ζητούμενη καμπύλη έχει παραμετρική παράσταση

$\vec{c}_p(t)=\big(3\sin{t},\,3\cos{t}\,\sqrt{1-\tan^2{t}},\,0\big)\,, \; t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,.$ ........................................................

Γρηγόρη καλημέρα,

οι τύποι σου λειτοργούν άψογα και είναι γενικοί.

Θα προσθέσω ότι σ' αυτήν ειδικά την περίπτωση μπορεί κανείς, για να βρεί μια παραμετρική εξίσωση
της τομής που ζητούμε, να εργαστεί και ως εξής στο ακόλουθο σχήμα:

: Προβολή καμπύλης σε επίπεδο 5.png (49.56 KiB) Προβλήθηκε 3829 φορές

Θεωρούμε την εξίσωση του "ισημερινού κύκλου" με παραμετρική μορφή:
$\displaystyle{C_h:\left\{\begin{matrix} x=3cost\\y=3sint\\z=0 \end{matrix}\right.,\ \ t\in[0,2\pi)}$

Στον κύκλο αυτό εφαρμόζω τον πίνακα στροφής περί τον άξονα $\displaystyle{y'Oy}$ κατά γωνία
ίση με:

$\displaystyle{\theta \in[0,\frac{\pi}{4}]}$

ο οποίος είναι:

$\displaystyle{T_{y'Oy}=\begin{bmatrix} cos\theta & 0 &-sin\theta \\ 0& 1 &0 \\sin\theta &0 &cos\theta \end{bmatrix}}$

Μετά τον πολλαπλασιασμό προκύπτουν η παραμετρική εξίσωση του κύκλου στροφής που είναι:

$\displaystyle{C_{\theta}:\ \ \left\{\begin{matrix} x=3cos\theta cost\\y=3sint \\ z=3sin\theta cost \end{matrix}\right.,\ \ \ \ \theta \in[0,\frac{\pi}{2}],\ \ t\in [0,2\pi) \ \ (1)}$

Από την (1) εύκολα προκύπτει και η εξίσωση της προβολής στον "ορίζοντα"
της καμπύλης αυτής, δηλαδή:

$\displaystyle{C_{e,\theta}=\left\{\begin{matrix} x=3cos\theta cost\\y=3sint \\ z=0 \end{matrix}\right.,\ \ \ \ \theta \in[0,\frac{\pi}{2}],\ \ t\in [0,2\pi) \ \ (2)}$

Με τους τύπους (1) και (2) σχεδιάστηκε το ανωτέρω σχήμα για το οποίο παραθέτω και ένα δυναμικό αρχείο.

Προβολή καμπύλης στο επίπεδο 2.ggb: (20.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 79 φορές

Κώστας Δόρτσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

dimitris0101 έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 4:02 pm
Τι εννοεί η εκφώνηση όταν λέει :
Να βρεθεί η προβολή στο επίπεδο χΟy (Z=0) της καμπύλης :

καταλαβαίνει κάποιος;

Επειδή

τα σημεία της καμπύλης ικανοποιούν την $x^{2}+y^{2}+x^{2}=9$

Δηλαδή την $2x^{2}+y^{2}=9$

Ετσι η προβολή στο επίπεδο z=0

είναι μέρος της έλλειψης $2x^{2}+y^{2}=9$ .
Αλλά η καμπύλη σαν τομή σφαίρας με επίπεδο είναι κύκλος.
Ετσι η προβολή θα είναι μια κλειστή καμπύλη.

Αρα η προβολή είναι όλη η έλλειψη $2x^{2}+y^{2}=9$ .

dimitris0101 · #10

grigkost έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 24, 2018 6:30 pm
Μια γενική μέθοδος της προβολής μιας καμπύλης του $\mathbb{R}^3$ σε ένα από τα επίπεδα που ορίζονται από τα ζεύγη των αξόνων είναι να έχουμε μια παραμετρική παράσταση $\vec{c}(t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,, \; t\in I\,,$ της καμπύλης και κατόπιν να εισάγουμε σε αυτήν, την συνθήκη του αντίστοιχου επιπέδου.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση, μια παραμετρική παράσταση της καμπύλης που είναι τα κοινά σημεία της σφαίρας και του επιπέδου είναι η(*)

$\vec{c}(t)=\big(3\sin{t},\,3\cos{t}\,\sqrt{1-\tan^2{t}},\,3\sin{t}\big)\,, \; t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,.$
Επειδή θέλουμε την προβολή της στο επίπεδο , η ζητούμενη καμπύλη έχει παραμετρική παράσταση

$\vec{c}_p(t)=\big(3\sin{t},\,3\cos{t}\,\sqrt{1-\tan^2{t}},\,0\big)\,, \; t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,.$

curve_proj.png

(*) Από την παραμετρική παράσταση $\vec{R}:[0,2\pi]\times\bigl[{-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}}\bigr]\longrightarrow\mathbb{R}^3\,,\; \vec{R}(\varphi,\vartheta)=\bigl({3 \cos\varphi\,\cos\vartheta,\,3\sin\varphi\,\cos\vartheta,\,3\sin\vartheta}\bigr)$
της σφαίρας και την συνθήκη

$\begin{aligned} x=z\quad&\Longrightarrow\quad \cos\varphi\,\cos\vartheta=\sin\vartheta\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\tan\vartheta\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{t=\vartheta}{\Longrightarrow}\quad \left\{\begin{array}{l} \cos\varphi=\tan{t}\\ sin\varphi=\sqrt{1-\tan^2{t}} \end{array}\right\}\,, \; t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,, \end{aligned}$

προκύπτει

$\begin{aligned} \vec{c}(t)&=\bigl({3 \tan{t}\,\cos{t},\,3\sqrt{1-\tan^2{t}}\,\cos{t},\,3\sin{t}}\bigr)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\big(3\sin{t},\,3\cos{t}\,\sqrt{1-\tan^2{t}},\,3\sin{t}\big)\,, \;t\in\bigl[{-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}}\bigr]\cup\bigl[{\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}}\bigr]\,. \end{aligned}$

Νομίζω έχεις θέσει λάθως τις σφαιρικές συντεταγμένες...

dimitris0101 · #11

Και τελικά η ζητούμενη προβολή είναι η 2x^2+y^2=9

(έλλειψη);;;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #12

dimitris0101 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:25 pm
Και τελικά η ζητούμενη προβολή είναι η (έλλειψη);;;

Ναι. Και οι άλλες λύσεις έλλειψη δίνουν σε παραμετρική μορφή.

#13

dimitris0101 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:23 pm
...Νομίζω έχεις θέσει λάθως τις σφαιρικές συντεταγμένες...

Δεν είναι σφαιρικές συντεταγμένες! Είναι μια από τις πολλές -ισοδύναμες μεταξύ τους- παραμετρικές παραστάσεις της σφαίρας x^2+y^2+z^2=3^2

.

Υ.Γ. Αν δεν γνωρίζεις διαφορική γεωμετρία, τότε δεν γνωρίζεις την έννοια της παραμετρικής παράστασης μιας επιφάνειας. Πάντως, είναι διαφορετική έννοια από τις σφαιρικές συντεταγμένες (οι οποίες αφορούν τον τρόπο με τον οποίο "κοιτάζουμε" ή "μετράμε" στον Ευκλείδειο χώρο).

#14

dimitris0101 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:25 pm
Και τελικά η ζητούμενη προβολή είναι η (έλλειψη);;;

Στην όλη κουβέντα μας ας ειπωθεί και τούτο:

Όταν αναφερόμαστε στο επίπεδο τότε η γραφή:

$\displaystyle{2x^2+y^2=9}$

δηλώνει τη συγκεκριμένη έλλειψη.

Όταν όμως αναφερόμαστε στο χώρο των τριών διαστάσεων τότε η
γραφή:

$\displaystyle{2x^2+y^2=9}$

δηλώνει μια ορθή ελλειπτική κυλινδρική επιφάνεια της οποίας οδηγός είναι
η γνωστή έλλειψη πάνω στο επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ , όπως φαίνεται και
στο ακόλουθο σχήμα:

: Kύλινδρος ή έλλειψη;1.png (36.07 KiB) Προβλήθηκε 3726 φορές

κι αυτό διότι η εξίσωση:

$\displaystyle{2x^2+y^2=9\ \ (1)}$

εννοείται ότι συνοδεύεται από την σημείωση: $\displaystyle{\forall z\in R}$ ,
δηλαδή η εξίσωση (1) συμπεριλαμβάνει όλα τα σημεία $\displaystyle{M(x,y,z)}$
του χώρου $\displaystyle{R^3}$ για τα οποία ισχύει:

$\displaystyle{2x^2+y^2+0z=9, \ \ (2)}$

η οποία παριστά όπως αναφέρθηκε μια ορθή ελλειπτική κυλινδρική επιφάνεια.

Ύστερα από αυτά για να δηλώσουμε τη γνωσή μας έλλειψη, όταν είμαστε
στο χώρο των τριών διαστάσεων θα πρέπει να γράψουμε:

$\displaystyle{2x^2+y^2=9, z=0, \ \ (3)}$

η οποία δηλώνει την τομή της αναφερθείσας κυλινδρικής επιφάνειας με το επίπεδο
$\displaystyle{z=0}$ το οποίο είναι το επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ .

Κώστας Δόρτσιος

προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Re: προβολή επιφάνειας στο επίπεδο

Μέλη σε σύνδεση